Hisoblashda 4 usul

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-19 22:14

Derivativlar grafikdan foydali xususiyatlarni olish uchun ishlatilishi mumkin, masalan, maksimal, minimal, tepalik, pastlik va qiyalik qiymatlari. Siz hatto grafik kalkulyatorisiz murakkab tenglamalarni chizish uchun ham foydalanishingiz mumkin! Afsuski, derivativlar ustida ishlash ko'pincha zerikarli, lekin bu maqola sizga ba'zi maslahatlar va fokuslar bilan yordam beradi.

Qadam

Qadam 1. Olingan yozuvlarni tushunish

Quyidagi ikkita yozuv eng ko'p ishlatiladi, garchi boshqalarini bu erda Vikipediyada topish mumkin.

• Leybnits yozuvi bu belgi tenglama y va x ni o'z ichiga olganda eng ko'p ishlatiladigan belgi hisoblanadi. dy/dx so'zma -so'z x ga nisbatan y hosilasini bildiradi. Buni har xil x va y qiymatlari uchun y/Δx deb hisoblash foydali bo'lishi mumkin. Bu tushuntirish lotin chegarasining ta'rifiga olib keladi: lim_{h-> 0} (f (x+h) -f (x))/soat. Bu belgini ikkinchi lotin uchun ishlatganda quyidagilarni yozish kerak: d²y/dx².
• Lagranj belgisi F funktsiyasining hosilasi f '(x) deb ham yoziladi. Bu belgi f ta'kidlangan x o'qiydi. Bu belgi Leybnits belgisiga qaraganda qisqaroq va hosilalarni funktsiya sifatida ko'rishda yordam beradi. Kattaroq darajadagi lotin hosil qilish uchun "f" ga qo'shish kifoya, shuning uchun ikkinchi lotin f '' (x) bo'ladi.

2 -qadam. Türev ma'nosini va tushish sabablarini tushuning

Birinchidan, chiziqli grafikning qiyalikini topish uchun chiziqdagi ikkita nuqta olinadi va ularning koordinatalari tenglamaga kiritiladi (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Biroq, uni faqat chiziqli grafikalar uchun ishlatish mumkin. Kvadrat va undan yuqori tenglamalar uchun chiziq egri bo'ladi, shuning uchun ikkita nuqta orasidagi farqni topish unchalik to'g'ri emas. Egri grafikda teginishning qiyalik burchagini topish uchun ikkita nuqta olinadi va egri chizig'ining qiyaligini topish uchun umumiy tenglamaga qo'yiladi: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx delta x ni bildiradi, bu grafikning ikki nuqtasida ikkita x koordinatasi orasidagi farq. E'tibor bering, bu tenglama (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), faqat boshqa shaklda. Natijalar noaniq bo'lishi ma'lum bo'lganligi uchun bilvosita yondashuv qo'llanilgan. (X, f (x)) teginishning qiyaligini topish uchun dx 0 ga yaqin bo'lishi kerak, shunda chizilgan ikkita nuqta bir nuqtaga birlashadi. Biroq, siz 0ni ajratolmaysiz, shuning uchun siz ikki nuqtali qiymatlarni kiritganingizdan so'ng, tenglamaning pastki qismidan dxni olib tashlash uchun faktoring va boshqa usullardan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Buni qilganingizdan so'ng, dx 0 qiling va siz tugadingiz. Bu (x, f (x)) teginishning qiyaligi. Tenglama hosilasi grafikdagi har qanday teginishning qiyalikini topishning umumiy tenglamasidir. Bu juda murakkab tuyulishi mumkin, lekin quyida ba'zi misollar mavjud bo'lib, ular lotinni qanday olish kerakligini tushuntirishga yordam beradi.

4 -usul 1: aniq lotinlar

Qadam 1. Agar tenglamangiz bir tomonda y bo'lsa, aniq lotinni ishlating

Qadam 2. Tenglamani [f (x + dx) - f (x)]/dx tenglamaga ulang

Masalan, tenglama y = x bo'lsa², lotin

3 -qadam [dx (2x + dx)]/dx tenglamasini yaratish uchun dx ni kengaytiring va olib tashlang

Endi siz yuqoridan va pastdan ikkita dx -ni qo'yishingiz mumkin. Natijada 2x + dx bo'ladi va dx nolga yaqinlashganda, lotin 2x bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, y = x grafigining har qanday tangensining qiyaligi² bu 2x. Nishabni topmoqchi bo'lgan nuqta uchun x-qiymatini kiriting.

4 -qadam. O'xshash tenglamalarni olish modellarini o'rganing

Bu erda ba'zi misollar.

• Har qanday eksponent - bu kuchning marta qiymatidir, 1dan kichik kuchga ko'tariladi. Masalan, x lotin⁵ 5x bo'ladi⁴va x ning hosilasi^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}. Agar x oldida raqam bo'lsa, uni kuch bilan ko'paytiring. Masalan, 3x hosilasi⁴ 12x³.
• Har qanday doimiyning hosilasi nolga teng. Shunday qilib, 8 ning hosilasi 0 ga teng.
• Summaning hosilasi tegishli lotinlarning yig'indisidir. Masalan, x ning hosilasi³ + 3x² 3x bo'ladi² + 6x.
• Mahsulotning hosilasi - bu birinchi faktorning ikkinchi faktoridan ikkinchi omilining birinchi faktoridan ko'p marta ko'pligi. Masalan, x ning hosilasi³(2x + 1) - x³(2) + (2x + 1) 3x², bu 8x ga teng³ + 3x².
• Kotibiya (masalan, f/g) ning hosilasi [g (f ning hosilasi) - f (g ning hosilasi)]/g². Masalan, (x² + 2x - 21)/(x - 3) - (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

4 -usul 2: Yopiq lotinlar

1 -qadam. Agar tenglamangizni bir tomondan y bilan yozib bo'lmaydigan bo'lsa, noaniq lotinlardan foydalaning

Aslida, agar siz bir tomondan y yozgan bo'lsangiz, dy/dx ni hisoblash zerikarli bo'lardi. Bu turdagi tenglamani qanday hal qilish mumkinligi haqidagi misol.

Qadam 2. Ushbu misolda x²y + 2y³ = 3x + 2y, y ni f (x) bilan almashtiring, shunda eslaysizki, y aslida funksiya.

Keyin tenglama x ga aylanadi²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x).

3 -qadam. Bu tenglamaning hosilasini topish uchun tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan chiqaring

Keyin tenglama x ga aylanadi²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x).

Qadam 4. f (x) ni yana y bilan almashtiring

F (x) dan farqli f '(x) o'rnini bosishdan ehtiyot bo'ling.

5 -qadam f '(x) ni toping

Bu misol uchun javob (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).

4 -ning 3 -usuli: Yuqori darajali lotinlar

1 -qadam. Yuqori darajadagi funktsiyani olish, siz lotinni (2 -tartibda) chiqarayotganingizni bildiradi

Masalan, agar muammo sizdan uchinchi tartibni olishni talab qilsa, unda faqat lotin lotinining lotinini oling. Ba'zi tenglamalar uchun yuqori tartibli lotin 0 bo'ladi.

4 -usul 4: zanjir qoidasi

1 -qadam. Agar y - z ning differentsial funktsiyasi, z - x ning differentsial funktsiyasi bo'lsa, y - x ning kompozitsion funktsiyasi va x (dy/dx) ga nisbatan y hosilasi (dy/du)* (du/dx)

Zanjir qoidasi, shuningdek, kuch tenglamalarining kombinatsiyasi bo'lishi mumkin, masalan: (2x⁴ - x)³. Türevni topish uchun, uni ko'paytirish qoidasi kabi o'ylab ko'ring. Tenglamani kuchga ko'paytiring va 1 ga kamaytiring. Keyin, tenglikni qavs ichidagi kuchni ko'taradigan hosilaga ko'paytiring (bu holda, 2x^4 - x). Bu savolga javob 3 (2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

Maslahatlar

• Qachonki siz hal qilish qiyin bo'lgan muammoni ko'rsangiz, xavotir olmang. Ko'paytirish, bo'linish va boshqalarni qo'llash orqali uni iloji boricha kichikroq qismlarga bo'lishga harakat qiling. Keyin, har bir qismni pastga tushiring.
• Ko'paytirish qoidasi, bo'linish qoidasi, zanjir qoidasi va ayniqsa, yashirin lotinlar bilan mashq qiling, chunki bu qoidalar hisoblashda ancha qiyin.
• Kalkulyatorni yaxshi tushunish; ularni qanday ishlatishni bilish uchun kalkulyatoringizdagi turli funktsiyalarni sinab ko'ring. Agar mavjud bo'lsa, kalkulyatorda tangens va hosilaviy funktsiyalarni qanday ishlatishni bilish juda foydali.
• Asosiy trigonometrik hosilalarni va ulardan qanday foydalanishni eslang.