Ildiz shakli - bu kvadrat ildiz (yoki kub yoki undan yuqori) belgisiga ega bo'lgan algebraik bayon. Bu shakl ko'pincha bir xil qiymatga ega bo'lgan ikkita raqamni ifodalaydi, garchi ular bir qarashda har xil ko'rinsa ham (masalan, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Shuning uchun, biz bunday shakl uchun "standart formulaga" muhtojmiz. Agar ikkalasi ham standart formulada boshqacha ko'rinadigan bo'lsa, ular bir xil emas. Matematiklar kvadratik shaklning standart formulasi quyidagi talablarga javob berishiga qo'shiladilar:
- Fraktsiyalarni ishlatishdan saqlaning
- Kesirli kuchlardan foydalanmang
- Mohiyatda ildiz shaklini ishlatishdan saqlaning
- Ikkita ildiz shaklini ko'paytirishni o'z ichiga olmaydi
- Ildiz ostidagi raqamlar endi ildiz otishi mumkin emas
Buning amaliy qo'llanilishidan biri bu ko'p tanlovli imtihonlarda. Agar siz javob topsangiz, lekin sizning javobingiz mavjud variantlar bilan bir xil bo'lmasa, uni oddiy formulaga soddalashtirishga harakat qiling. Savol beruvchilar odatda standart formulalarda javob yozishgani uchun, javoblaringizga javob berish uchun ham xuddi shunday qiling. Insho savollarida "javobingizni soddalashtirish" yoki "barcha ildizlarni soddalashtirish" kabi buyruqlar talabalar yuqoridagi standart formulaga mos kelguncha quyidagi amallarni bajarishlari kerakligini bildiradi. Bu qadam tenglamalarni echishda ham qo'llanilishi mumkin, garchi ba'zi turdagi tenglamalar nostandart formulalarda echilishi osonroq bo'lsa.
Qadam
1 -qadam. Agar kerak bo'lsa, operatsion ildizlar va eksponentlar qoidalarini ko'rib chiqing (ikkalasi ham teng - ildizlar kasrlarning kuchi), bu jarayonda bizga kerak
Shuningdek, polinomlar va ratsional shakllarni soddalashtirish qoidalarini ko'rib chiqing, chunki biz ularni soddalashtirishimiz kerak bo'ladi.
6 -usul 1: mukammal kvadratchalar
Qadam 1. Zo'r kvadratchalarni o'z ichiga olgan barcha ildizlarni soddalashtiring
Mukammal kvadrat - bu o'z -o'zidan sonning hosilasi, masalan, 81, 9 x 9 mahsuloti. Zo'r kvadratni soddalashtirish uchun, faqat kvadrat ildizni olib tashlang va sonning kvadrat ildizini yozing.
- Masalan, 121 - bu mukammal kvadrat, chunki 11 x 11 121 ga teng. Shunday qilib, ildiz belgisini olib tashlash orqali siz (121) ildizini 11 ga soddalashtirishingiz mumkin.
- Bu qadamni osonlashtirish uchun siz birinchi o'n ikkita mukammal kvadratni eslab qolishingiz kerak: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Qadam 2. Zo'r kublarni o'z ichiga olgan barcha ildizlarni soddalashtiring
Zo'r kub - bu sonni o'z -o'zidan ikki marta ko'paytirish mahsuloti, masalan, 27 x 3 x 3 x mahsuloti. Zo'r kubning ildiz shaklini soddalashtirish uchun kvadrat ildizini olib tashlash va kvadrat ildizini yozish kifoya. raqamdan.
Masalan, 343 - bu mukammal kub, chunki u 7 x 7 x 7 mahsulotidir. Shunday qilib, 343 ning kub ildizi 7 ga teng
6 -ning 2 -usuli: kasrlarni ildizlarga aylantirish
Yoki boshqa yo'l bilan o'zgartirish (ba'zida yordam beradi), lekin ularni root (5) + 5^(3/2) bilan bir xilda aralashtirmang. Siz ildiz shaklini ishlatmoqchisiz va kvadrat ildiz uchun root (n) va kub ildizi uchun sqrt^3 (n) belgilaridan foydalanamiz deb taxmin qilamiz.
Qadam 1. Kasrning kuchiga bittasini olib, uni ildiz shaklga aylantiring, masalan x^(a/b) = rootni b^x ning kuchiga
Agar kvadrat ildiz kasr shaklida bo'lsa, uni oddiy shaklga o'tkazing. Masalan, kvadrat ildiz (2/3) 4 = ildiz (4)^3 = 2^3 = 8
2-qadam. Salbiy ko'rsatkichlarni kasrlarga aylantiring, masalan x^-y = 1/x^y
Bu formula faqat doimiy va ratsional ko'rsatkichlar uchun amal qiladi. Agar siz 2^x kabi shakl bilan ishlayotgan bo'lsangiz, agar muammo x kasr yoki manfiy son bo'lishi mumkinligini ko'rsatsa ham, uni o'zgartirmang
3 -qadam. Xuddi shu qabilani birlashtirish va natijada ratsional shaklni soddalashtirish.
6 -ning 3 -usuli: Ildizlardagi kasrlarni yo'q qilish
Standart formula ildizning butun son bo'lishini talab qiladi.
Qadam 1. Kvadrat ildiz ostidagi raqamga qarang, agar u hali kasrni o'z ichiga olsa
Agar hali ham,…
Qadam 2. Identifikator ildizi (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) yordamida ikkita ildizdan iborat kasrga o'zgartiring
Agar maxraj manfiy bo'lsa yoki manfiy o'zgaruvchi bo'lsa, bu identifikatordan foydalanmang. Bunday holda, avval fraktsiyani soddalashtiring
Qadam 3. Natijaning har bir mukammal kvadratini soddalashtiring
Ya'ni, sqrt (5/4) ni sqrt (5)/sqrt (4) ga aylantiring, keyin sqrt (5)/2 ga soddalashtiring.
4 -qadam. Murakkab kasrlarni soddalashtirish, teng atamalarni birlashtirish va boshqalar kabi boshqa soddalashtirish usullaridan foydalaning
6 -dan 4 -usul: Ko'paytirish ildizlarini birlashtirish
1 -qadam. Agar siz bitta ildiz shaklini boshqasiga ko'paytirsangiz, formuladan foydalanib, ikkalasini bitta kvadrat ildizga birlashtiring:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Masalan, root (2)*root (6) ni root (12) ga o'zgartiring.
- Yuqoridagi identifikator, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), agar sqrt belgisi ostidagi raqam manfiy bo'lmasa. A va b manfiy bo'lganida bu formuladan foydalanmang, chunki siz sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) qilishda xato qilasiz. Chapdagi bayon -1 ga teng (yoki murakkab sonlardan foydalanmasangiz aniqlanmagan), o'ngdagi bayonot +1. Agar a va/yoki b manfiy bo'lsa, avval sqrt (-5) = i*sqrt (5) kabi belgini "o'zgartiring". Agar ildiz belgisi ostidagi shakl o'zgaruvchan bo'lsa, uning belgisi kontekstdan noma'lum yoki ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin, uni hozircha qoldiring. Siz umumiy umumiy identifikatorni ishlatishingiz mumkin: lekin odatda bu formulaning yordami katta emas, chunki u sgn (signum) funktsiyasidan foydalanishga murakkablik qo'shadi.
- Bu identifikator, agar ildizlarning shakllari bir xil ko'rsatkichga ega bo'lsa, amal qiladi. Siz sqrt (5)*sqrt^3 (7) kabi turli kvadrat ildizlarni bir xil ildizga aylantirish orqali ko'paytirishingiz mumkin. Buning uchun kvadrat ildizni vaqtincha kasrga aylantiring: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Keyin ikkalasini 6125 kvadrat ildiziga ko'paytirish uchun ko'paytirish qoidasidan foydalaning.
6 -ning 5 -usuli: Kvadrat omilni ildizdan olib tashlash
Qadam 1. Nomukammal ildizlarni asosiy omillarga aylantirish
Faktor - bu boshqa raqamga ko'paytirilganda raqam hosil qiladigan raqam, masalan, 5 va 4 - 20 ning ikkita omili. Nomukammal ildizlarni buzish uchun, sonning barcha omillarini yozing (yoki iloji boricha ko'p bo'lsa). raqam juda katta) mukammal kvadrat topmaguningizcha.
Masalan, 45: 1, 3, 5, 9, 15 va 45 ning barcha omillarini topishga harakat qiling. 9 - bu 45 faktor va u ham mukammal kvadrat (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Qadam 2. Kvadrat ildiz ichidan mukammal kvadratchalar bo'lgan barcha ko'paytgichlarni olib tashlang
9 - bu mukammal kvadrat, chunki u 3 x 3 mahsulotidir. 9 -ni kvadrat ildizdan chiqarib oling va kvadrat ildiz oldida 3 -ni qo'ying, 5 -chi kvadrat ildiz ichida. Agar siz 3 -ni kvadrat ildizga "qo'ygan" bo'lsangiz, o'z -o'zidan ko'paytirib 9 -ga, 5 -ga ko'paytirsangiz 45 -ga qaytadi. 5 ning 3 ildizi - 45 ildizini ifodalashning oddiy usuli.
Ya'ni, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
3 -qadam. O'zgaruvchidan mukammal kvadratni toping
Kvadratning ildiz ildizi | a |. Agar ma'lum o'zgaruvchi ijobiy bo'lsa, buni "a" ga soddalashtirishingiz mumkin. A -ning kvadrat ildizi a -ning kvadrat ildiziga bo'linib, 3 -ga teng. uchinchi kuch.
Shunday qilib, kub shaklida mukammal kvadrat - bu kvadrat
Qadam 4. Kvadrat ildizdan mukammal kvadratni o'z ichiga olgan o'zgaruvchini olib tashlang
Endi kvadrat ildizdan kvadrat oling va uni | a | ga o'zgartiring. A ildizining 3 ga teng bo'lgan oddiy shakli | a | ildiz a.
Qadam 5. Teng atamalarni birlashtiring va hisoblash natijalarining barcha ildizlarini soddalashtiring
6 -dan 6 -usul: denominatorni ratsionalizatsiya qilish
Qadam 1. Standart formulada maxrajni iloji boricha butun son (yoki polinom) bo'lishi kerak
-
Agar denominator […]/root (5) kabi ildiz belgisi ostida bitta atamadan iborat bo'lsa, unda […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt olish uchun bu sonni ham, mohiyatini ham ko'paytiring. (5) = […]*ildiz (5)/5.
Kub yoki undan yuqori ildizlar uchun tegishli ildizga ko'paytiring, shunda maxraj oqilona bo'ladi. Agar maxraj^3 (5) ildiz bo'lsa, hisoblagich va maxrajni sqrt^3 (5)^2 ga ko'paytiring
-
Agar maxraj sqrt (2) + sqrt (6) kabi ikkita kvadrat ildizni qo'shish yoki olib tashlashdan iborat bo'lsa, kvant va denominatorni konjugatiga ko'paytiring, ular bir xil, lekin teskari belgi bilan. Keyin […]/(ildiz (2) + ildiz (6)) = […] (ildiz (2)-ildiz (6))/(ildiz (2) + ildiz (6)) (ildiz (2)-ildiz (6)). So'ngra, maxrajni ratsionalizatsiya qilish, soddalashtirish uchun [(a + b) (ab) = a^2-b^2] ikkita kvadratning farqi uchun identifikator formulasidan foydalaning 2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Bu 5 + sqrt (3) kabi denominatorlarga ham taalluqlidir, chunki hamma butun sonlar boshqa tamsayılarning ildizlari hisoblanadi. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-kvadrat (3)^2) = (5-kvadrat (3))/(25-3) = (5-kvadrat (3))/22]
- Bu usul, shuningdek, sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) kabi ildizlarni qo'shish uchun ham amal qiladi. Agar siz ularni (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) ga guruhlab, (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) ga ko'paytirsangiz, javob ratsional shaklda emas, balki hali a+b*ildizida (30), bu erda a va b allaqachon ratsional sonlar. Keyin jarayonni a+b*sqrt (30) konjugatlari bilan takrorlang va (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) mantiqiy bo'ladi. Aslida, agar siz ushbu hiyla yordamida maxrajdagi bitta ildiz belgisini olib tashlashingiz mumkin bo'lsa, uni ko'p marta takrorlab, barcha ildizlarni olib tashlashingiz mumkin.
- Bu usul yuqori ildizni o'z ichiga olgan denominatorlar uchun ham qo'llanilishi mumkin, masalan, 3 ning to'rtinchi ildizi yoki 9 ning ettinchi ildizi. Afsuski, biz to'g'ridan -to'g'ri denominator konjugatini ololmaymiz va buni qilish qiyin. Javobni sonlar nazariyasi bo'yicha algebra kitobidan topishimiz mumkin, lekin men bunga kirmayman.
2 -qadam. Endi maxraj ratsional shaklda, lekin hisoblagich tartibsiz ko'rinadi
Endi siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - bu maxraj konjugatiga ko'paytirish. Ko'p polinomlarni ko'paytirgandek davom eting va ko'paying. Iloji bo'lsa, biron bir atamani olib tashlash, soddalashtirish yoki birlashtirish mumkinligini tekshiring.
3 -qadam. Agar maxraj manfiy butun son bo'lsa, uni musbat qilish uchun ham sonni, ham maxrajni -1 ga ko'paytiring
Maslahatlar
- Siz Internetda ildiz shakllarini soddalashtirishga yordam beradigan saytlarni qidirishingiz mumkin. Tenglikni ildiz belgisi bilan yozing va Enter tugmachasini bosgandan so'ng, javob paydo bo'ladi.
- Oddiy savollar uchun siz ushbu maqoladagi barcha qadamlarni ishlata olmaysiz. Murakkab savollar uchun siz bir necha qadamlarni bir necha marta ishlatishingiz kerak bo'lishi mumkin. "Oddiy" qadamlarni bir necha marta ishlating va javobingiz biz ilgari muhokama qilgan standart formulalar mezonlariga mos keladimi -yo'qligini tekshiring. Agar sizning javobingiz standart formulada bo'lsa, siz bajargansiz; lekin bo'lmasa, buni amalga oshirish uchun yuqoridagi amallardan birini tekshirib ko'rishingiz mumkin.
- Ildiz shakli uchun "tavsiya etilgan standart formulaga" havolalarning aksariyati murakkab sonlarga ham tegishli (i = root (-1)). Agar bayonotda ildiz o'rniga "i" yozilgan bo'lsa ham, iloji boricha i mavjud bo'lgan denominatorlardan qoching.
- Ushbu maqoladagi ba'zi ko'rsatmalar barcha ildizlar kvadrat ekanligini taxmin qiladi. Xuddi shu umumiy tamoyillar yuqori kuchlarning ildizlariga nisbatan qo'llaniladi, garchi ba'zi qismlar (ayniqsa, denominatorni ratsionalizatsiya qilish) bilan ishlash juda qiyin bo'lishi mumkin. O'zingiz xohlagan shaklni tanlang, masalan, sqr^3 (4) yoki sqr^3 (2)^2. (Darsliklarda odatda qanday shakl taklif qilinganini eslay olmayman).
- Ushbu maqoladagi ba'zi ko'rsatmalar "odatiy shakl" ni ta'riflash uchun "standart formula" so'zidan foydalanadi. Farqi shundaki, standart formula faqat 1+sqrt (2) yoki sqrt (2) +1 shaklini qabul qiladi va boshqa shakllarni nostandart deb hisoblaydi; Oddiy shakl, siz, o'quvchi, bu ikki raqamning "o'xshashligini" ko'rishingiz uchun aqlli ekanligingizni taxmin qiladi, garchi ular yozma ravishda bir xil bo'lmasa ham (ularning arifmetik xususiyatidagi (almashtiruvchi qo'shimchadagi) "algebraik" (ildiz) emas (2)-x^2-2 ning negativ bo'lmagan ildizi)). Umid qilamizki, o'quvchilar ushbu atamani ishlatishda biroz beparvolikni tushunishadi.
- Agar biron -bir maslahat noaniq yoki qarama -qarshi bo'lib tuyulsa, barcha qadamlarni aniq va izchil bajaring, so'ngra qaysi shaklni afzal ko'rsangiz, tanlang.
