3 ta algebraik tenglamalarga omil bo'lish usullari

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Matematikada, faktoring Bu ko'paytirilganda ma'lum bir son yoki tenglamani chiqaradigan raqamlar yoki iboralarni topish usuli. Faktoring - bu oddiy algebra masalalarini echishni o'rganish uchun foydali ko'nikma; Kvadrat tenglamalar va polinomlarning boshqa shakllari bilan ishlashda yaxshi omil bo'lish qobiliyati muhim ahamiyat kasb etadi. Faktoringdan foydalanib, ularning echimini osonlashtirish uchun algebraik ifodalarni soddalashtirish mumkin. Faktoring sizga hatto mumkin bo'lgan javoblarni qo'lda hal qilishdan ko'ra tezroq yo'q qilish qobiliyatini berishi mumkin.

Qadam

3 -usul 1: Faktoring raqamlari va oddiy algebraik ifodalar

Qadam 1. Yagona raqamlarga nisbatan faktoring ta'rifini tushunish

Faktoring - oddiy tushuncha, lekin amalda murakkab tenglamalarga qo'llanganda qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, faktoring tushunchasiga oddiy sonlardan boshlab, so'ngra oddiy tenglamalarga o'tib, nihoyat murakkabroq ilovalarga o'tishdan oldin murojaat qilish osonroq. Raqam omillari - bu sonni ko'paytirganda hosil qiladigan raqamlar. Masalan, 12 ning omillari 1, 12, 2, 6, 3 va 4 ga teng, chunki 1 × 12, 2 × 6 va 3 × 4 12 ga teng.

• O'ylashning yana bir usuli, raqamning omillari songa teng bo'linadigan sonlardir.

• 60 raqamining barcha omillarini topa olasizmi? Biz 60 raqamini turli maqsadlar uchun ishlatamiz (bir daqiqada, bir soniyada, va hokazo), chunki uni boshqa raqamlarga bo'lish mumkin.

  60 faktorlari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 va 60

2 -qadam. O'zgaruvchan ifodalarni faktorlarga bo'lish mumkinligini ham tushuning

Raqamlar faktorlarga bo'linishi mumkin bo'lganidek, sonlar koeffitsientli o'zgaruvchilar ham faktorlarga bo'linishi mumkin. Buning uchun faqat o'zgaruvchan koeffitsientlarning omillarini toping. O'zgaruvchini qanday omillashtirishni bilish, bu o'zgaruvchini o'z ichiga olgan algebraik tenglamalarni soddalashtirish uchun juda foydali.

• Masalan, 12x o'zgaruvchini 12 va x omillarining hosilasi sifatida yozish mumkin. Biz 12x ni 3 (4x), 2 (6x) va hokazo qilib yozishimiz mumkin, bunda 12 ta omillardan qaysi biri bizning maqsadimizga mos keladi.

  Biz hatto 12 marta ko'p marta faktor qilishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz 3 (4x) yoki 2 (6x) bilan to'xtashimiz shart emas - biz 4x va 6x faktorlarini 3 (2 (2x) va 2 (3 (2x)) hosil qilishimiz mumkin. Albatta, bu ikki ifoda ekvivalentdir

Qadam 3. Ko'paytirishning taqsimlovchi xususiyatini faktor algebraik tenglamalarga qo'llang

Bitta sonlarni ham, o'zgaruvchilarni ham koeffitsientlar bilan qanday taqsimlash haqidagi bilimlaringizdan foydalanib, algebraik tenglamalarda sonlar va o'zgaruvchilar bo'lishadigan omillarni topib, oddiy algebraik tenglamalarni soddalashtirishingiz mumkin. Odatda, tenglamani soddalashtirish uchun biz eng katta umumiy omilni topishga harakat qilamiz. Bu soddalashtirish jarayoni har qanday a, b va c sonlarga tegishli bo'lgan ko'payishning taqsimlovchi xususiyati tufayli mumkin. a (b + c) = ab + ac.

• Keling, savolga misolni ko'rib chiqaylik. 12x + 6 algebraik tenglamasini faktorizatsiya qilish uchun, birinchi navbatda, 12x va 6 ning eng katta umumiy omilini topishga harakat qilaylik. 6 - 12x va 6 ni teng taqsimlaydigan eng katta son, shuning uchun biz tenglamani 6 (2x + 1) ga soddalashtira olamiz..
• Bu jarayon manfiy son va kasrli tenglamalar uchun ham amal qiladi. Masalan, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) ga soddalashtirilishi mumkin, va -7x + -21 ni -7 (x + 3) ga bo'lish mumkin.

3 -usul 2: Kvadrat tenglamalarni faktoring qilish

Qadam 1. Tenglama kvadrat shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling (bolta² + bx + c = 0).

Kvadrat tenglamalar ax shakliga ega² + bx + c = 0, bu erda a, b va c -sonlarning doimiylari va 0 ga teng emas (a ning 1 yoki -1 ga teng ekanligini unutmang). Agar sizda bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan (x) tenglamaga ega bo'lsangiz, bitta x xurmolari ikki yoki undan ko'p kuchga ega bo'lsa, siz odatda bu atamalarni teng algebraik operatsiyalar yordamida tenglik belgisi va boltning har ikki tomonida 0 olish uchun o'tkazasiz.², va boshqalar. boshqa tomonda.

• Masalan, algebraik tenglamani o'ylab ko'raylik. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 ni x ga soddalashtirish mumkin² + 6x + 9 = 0, bu kvadrat shakli.
• Kattaroq x kuchga ega tenglamalar, masalan x³, x⁴, va boshqalar. kvadrat tenglamalar emas. Bu tenglamalar, kubik tenglamalari, to'rtinchi kuchga va hokazo, agar tenglamani soddalashtirib, 2 -dan katta kuchga ega bo'lgan x x shartlarini olib tashlash mumkin bo'lmasa.

2 -qadam. Kvadrat tenglamada, bu erda a = 1, (x+d) (x+e) ga aylanadi, bu erda d × e = c va d+e = b

Agar sizning kvadrat tenglamangiz x shaklida bo'lsa² + bx + c = 0 (boshqacha aytganda, x atamasining koeffitsienti² = 1), tenglamani aniqlash uchun juda oson stenografiya usulidan foydalanish mumkin (lekin kafolatlanmagan). Ko'paytirganda c ni beradigan ikkita raqamni toping va b ishlab chiqarish uchun qo'shiladi. Ushbu ikkita d va e raqamlarini qidirganingizdan so'ng, ularni quyidagi ifodaga qo'ying: (x+d) (x+e). Bu ikkita atama ko'paytirilganda sizga kvadrat tenglamangizni beradi - boshqacha qilib aytganda, ular sizning kvadrat tenglamangiz omillari.

• Masalan, x kvadrat tenglamani o'ylab ko'raylik² + 5x + 6 = 0. 3 va 2 ga 6 ga ko'paytiriladi va 5 ga qo'shiladi, shuning uchun biz bu tenglamani (x + 3) (x + 2) ga soddalashtira olamiz.

• Stenografiyaning bu asosiy usulida ozgina farq o'xshashliklarning farqlarida yotadi:

  • Agar kvadrat tenglama x shaklida bo'lsa²-bx+c, sizning javobingiz shu shaklda: (x - _) (x - _).
  • Agar tenglama x shaklida bo'lsa²+ bx + c, sizning javobingiz shunday: (x + _) (x + _).
  • Agar tenglama x shaklida bo'lsa²-bx -c, sizning javobingiz (x + _) (x -_) shaklida.
• Eslatma: bo'sh joylardagi raqamlar kasr yoki o'nlik bo'lishi mumkin. Masalan, x tenglamasi² + (21/2) x + 5 = 0 (x + 10) (x + 1/2) ga bo'linadi.

Qadam 3. Iloji bo'lsa, chexlar orqali omil qiling

Ishonasizmi yoki yo'qmi, murakkab bo'lmagan kvadrat tenglamalar uchun faktoringning ruxsat etilgan usullaridan biri bu muammoni tekshirish, so'ngra to'g'ri javob topmaguningizcha mumkin bo'lgan javoblarni ko'rib chiqing. Bu usul tekshiruv orqali faktoring sifatida ham tanilgan. Agar tenglama bolta shaklida bo'lsa²+bx +c va a> 1, sizning faktor javobingiz (dx +/- _) (ex +/- _) shaklida bo'ladi, bu erda d va e ko'paytirilganda a ni beradigan nol bo'lmagan sonlarning doimiylari. Na d, na e (yoki ikkalasi) 1 bo'lishi mumkin emas, lekin bo'lishi shart emas. Agar ikkalasi ham 1 bo'lsa, siz asosan yuqorida tasvirlangan stenografiya usulidan foydalanasiz.

Misol muammosini o'ylab ko'raylik. 3x² - 8x + 4 dastlab qiyin ko'rinadi. Biroq, biz 3-da faqat ikkita omil (3 va 1) borligini anglaganimizda, bu tenglama osonlashadi, chunki biz bilamizki, bizning javobimiz (3x +/- _) (x +/- _) shaklida bo'lishi kerak. Bunday holda, har ikkala bo'sh joyga -2 ni qo'shish to'g'ri javobni beradi. -2 × 3x = -6x va -2 × x = -2x. -6x va -2x -8xgacha qo'shiladi. -2 × -2 = 4, shuning uchun ko'paytirishda qavs ichida yozilgan atamalar asl tenglamani hosil qilishini ko'rishimiz mumkin.

Qadam 4. Kvadratni to'ldirib hal qiling

Ba'zi hollarda, kvadrat tenglamalarni maxsus algebraik identifikatorlar yordamida tez va oson faktorlashtirish mumkin. X shaklidagi har qanday kvadratik tenglama² + 2x + h² = (x + h)². Shunday qilib, agar sizning tenglamangizda sizning b qiymatingiz c qiymatining kvadrat ildizidan ikki baravar ko'p bo'lsa, sizning tenglamangizni (x + (root (c))) hisobga olish mumkin.².

Masalan, x tenglamasi² +6x+9 bu shaklga ega. 3² 9 va 3 × 2 6 ga teng. Demak, biz bu tenglamaning faktor shakli (x + 3) (x + 3) yoki (x + 3) ekanligini bilamiz.².

5 -qadam. Kvadrat tenglamalarni yechishda omillardan foydalaning

Kvadrat tenglamani qanday asoslaganingizdan qat'i nazar, tenglama aniqlangandan so'ng, har bir omilni nolga tenglashtirish va ularni hal qilish orqali x qiymatiga mumkin bo'lgan javoblarni topishingiz mumkin. Agar siz tenglamangizni nolga tenglashtiradigan x qiymatini qidirayotgan bo'lsangiz, har qanday omilni nolga tenglashtiradigan x qiymati sizning kvadrat tenglamangizga mumkin bo'lgan javobdir.

Keling, x tenglamaga qaytaylik² + 5x + 6 = 0. Bu tenglama (x + 3) (x + 2) = 0 ga bo'linadi. Agar har ikkala omil ham 0 ga teng bo'lsa, barcha tenglamalar 0 ga teng bo'ladi, shuning uchun x uchun mumkin bo'lgan javoblarimiz sonlardir. x + 3) va (x + 2) 0 ga teng. Bu raqamlar mos ravishda -3 va -2.

Qadam 6. Javoblaringizni tekshiring - ba'zi javoblar chalg'itishi mumkin

Agar siz x uchun mumkin bo'lgan javoblarni topsangiz, javobni to'g'riligini bilish uchun ularni asl tenglamangizga ulang. Ba'zida, siz topgan javoblar asl tenglamani nolga tenglashtirmaydi, chunki u qayta kiritiladi. Biz bu javobni deviant deb ataymiz va bunga e'tibor bermaymiz.

• -2 va -3 ni x ga qo'yaylik² + 5x + 6 = 0. Birinchidan, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu javob to'g'ri, shuning uchun -2 to'g'ri javob.

• Keling, -3 ni sinab ko'raylik:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu javob ham to'g'ri, shuning uchun -3 to'g'ri javob.

3 -usul 3: Boshqa tenglamalarni faktoring qilish

Qadam 1. Agar tenglama a shaklida ifodalangan bo'lsa²-b², (a+b) (a-b) ga omil.

Ikki o'zgaruvchili tenglamalar asosiy kvadratik tenglamadan farqli o'laroq turli omillarga ega. Tenglama uchun a²-b² a va b 0 ga teng bo'lmagan hamma narsa, tenglamaning omillari (a+b) (a-b).

Masalan, 9x tenglama² - 4y² = (3x + 2y) (3x - 2y).

2 -qadam. Agar tenglama a shaklida ifodalangan bo'lsa²+2ab+b², omil (a+b)².

E'tibor bering, agar trinomial a shakli bo'lsa²-2ab+b², shakl omillari biroz boshqacha: (a-b)².

4x tenglama² + 8ksi + 4y² 4x sifatida qayta yozish mumkin² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Endi biz shakl to'g'ri ekanligini ko'ramiz, shuning uchun biz tenglamamiz omillari (2x + 2y) ekanligiga amin bo'lishimiz mumkin.²

3 -qadam. Agar tenglama a shaklida ifodalangan bo'lsa³-b³, (a-b) omiliga (a²+ab+b²).

Va nihoyat, faktoring jarayoni tezda murakkablashib ketishiga qaramay, kubik tenglamalarni va hatto undan yuqori kuchlarni hisobga olish mumkinligi allaqachon aytib o'tilgan.

Masalan, 8x³ - 27 yoshda³ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Maslahatlar

• a²-b² faktor bo'lishi mumkin, a²+b² faktor qilib bo'lmaydi.
• Qanday qilib doimiyni hisobga olishni eslang. Bu yordam berishi mumkin.
• Faktoring jarayonida kasrlardan ehtiyot bo'ling va kasrlar bilan to'g'ri va ehtiyotkorlik bilan ishlang.
• Agar sizda trinomial x shakli mavjud bo'lsa²+ bx+ (b/2)², shakl koeffitsienti (x+(b/2))². (Kvadratni to'ldirishda siz bunday vaziyatga duch kelishingiz mumkin.)
• Esda tutingki, a0 = 0 (nol mahsulotining xossasi).