"Tenglamalar tizimida" siz bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ortiq tenglamalarni echishingiz so'raladi. Qachonki ikkita tenglama ikki xil o'zgaruvchiga ega bo'lsa, masalan, x va y, echim dastlab qiyin bo'lib tuyulishi mumkin. Yaxshiyamki, nima qilish kerakligini bilganingizdan so'ng, muammoni hal qilish uchun algebraik ko'nikmalaringizdan (va kasrlarni hisoblash fanidan) foydalanishingiz mumkin. Agar siz vizual o'rganuvchi bo'lsangiz yoki o'qituvchi talab qilsa, ushbu ikkita tenglamani qanday chizishni bilib oling. Chizmalar sizga mavzuni aniqlashga yoki ishingizning natijalarini tekshirishga yordam beradi. Biroq, bu usul boshqa usullarga qaraganda sekinroq va uni barcha tenglamalar tizimlarida ishlatib bo'lmaydi.
Qadam
3 -ning 1 -usuli: O'zgartirish usulini qo'llash
Qadam 1. O'zgaruvchilarni tenglamaning qarama -qarshi tomoniga o'tkazing
O'zgartirish usuli tenglamalardan birida "x qiymatini (yoki boshqa o'zgaruvchini) topish" bilan boshlanadi. Masalan, masalaning tenglamasini ayting 4x + 2y = 8 va 5x + 3y = 9. Birinchi tenglama ustida ishlashdan boshlang. Ikkala tomondan 2y chiqarib, tenglamani qayta tartiblang. Shunday qilib, olasiz 4x = 8 - 2y.
Bu usulda oxirida fraktsiyalar tez -tez ishlatiladi. Agar siz kasrlarni sanashni yoqtirmasangiz, quyida olib tashlash usulini sinab ko'ring
2 -qadam. Tenglamaning ikkala tomonini ham "x qiymatini toping"
X (yoki siz foydalanadigan o'zgaruvchi) atamasi tenglamaning bir tomonida yolg'iz bo'lganda, tenglamaning har ikki tomonini koeffitsientlarga bo'linadi, shunda faqat o'zgaruvchi qoladi. Misol tariqasida:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
3 -qadam. Birinchi tenglamadagi x qiymatini ikkinchi tenglamaga ulang
Siz yangi ishlaganingiz o'rniga, uni ikkinchi tenglamaga ulaganingizga ishonch hosil qiling. Ikkinchi tenglamadagi x o'zgaruvchini almashtiring (almashtiring). Shunday qilib, ikkinchi tenglama hozirda faqat bitta o'zgaruvchiga ega. Misol tariqasida:
- Ma'lum x = 2 - y.
- Sizning ikkinchi tenglamangiz 5x + 3y = 9.
- Ikkinchi tenglamadagi x o'zgaruvchini birinchi tenglamadagi x qiymati bilan almashtirgandan so'ng, biz "2 - y" ni olamiz: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Qadam 4. Qolgan o'zgaruvchilarni eching
Endi sizning tenglamangiz faqat bitta o'zgaruvchiga ega. O'zgaruvchining qiymatini topish uchun oddiy algebraik amallar bilan tenglamani hisoblang. Agar ikkita o'zgaruvchi bir -birini bekor qilsa, oxirgi bosqichga o'ting. Aks holda siz o'zgaruvchilardan biri uchun qiymat olasiz:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Agar siz bu qadamni tushunmasangiz, kasrlarni qo'shishni o'rganing.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Qadam 5. Birinchi tenglamadagi x ning haqiqiy qiymatini topish uchun olingan javobdan foydalaning
Hali ham to'xtamang, chunki sizning hisob -kitoblaringiz hali bajarilmagan. Qolgan o'zgaruvchilar qiymatini topish uchun olingan javobni birinchi tenglamaga ulashingiz kerak:
- Ma'lum y = -2
- Birinchi tenglamadagi tenglamalardan biri bu 4x + 2y = 8. (Siz ulardan birini ishlatishingiz mumkin.)
- Y o'zgaruvchisini -2 bilan almashtiring: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Qadam 6. Agar ikkita o'zgaruvchi bir -birini bekor qilsa nima qilish kerakligini biling
Siz kirganingizda x = 3y+2 yoki ikkinchi tenglamaga o'xshash javob, ya'ni siz faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olishga harakat qilyapsiz. Ba'zan siz shunchaki tenglamani olasiz holda o'zgaruvchan Ishingizni ikki marta tekshiring va birinchi tenglamaga qaytish o'rniga, tenglamani ikkinchi tenglamaga qo'yganingizga ishonch hosil qiling. Agar noto'g'ri ish qilmaganingizga amin bo'lsangiz, quyidagi natijalardan birini yozing:
- Agar tenglamaning o'zgaruvchilari bo'lmasa va u to'g'ri bo'lmasa (masalan, 3 = 5), bu muammo javob yo'q. (Bu chizilganida, bu ikkita tenglama parallel va hech qachon bir -biriga mos kelmaydi.)
- Agar tenglamada o'zgaruvchilar bo'lmasa va To'g'ri, (masalan, 3 = 3), ya'ni savolga ega cheksiz javoblar. Birinchi tenglama ikkinchi tenglama bilan bir xil. (Grafik chizilganida, bu ikkita tenglama bir xil chiziq.)
3 -ning 2 -usuli: Yo'q qilish usulini qo'llash
Qadam 1. O'zaro o'zgaruvchan o'zgaruvchilarni toping
Ba'zida muammoning tenglamasi allaqachon mavjud bir -birini bekor qilish qo'shilganda. Masalan, agar siz tenglamani qilsangiz 3x + 2y = 11 va 5x - 2y = 13, "+2y" va "-2y" atamalari bir-birini bekor qiladi va tenglamadan "y" o'zgaruvchisini olib tashlaydi. Muammoning tenglamasiga qarang va misolda bo'lgani kabi bir -birini bekor qiladigan o'zgaruvchilar borligini tekshiring. Agar yo'q bo'lsa, keyingi bosqichga o'ting.
2 -qadam. Tenglamani bittaga ko'paytiring, shunda bitta o'zgaruvchi o'chiriladi
(Agar o'zgaruvchilar bir -birini bekor qilsa, bu qadamni o'tkazib yuboring.) Agar tenglamada o'z -o'zidan bekor qilinadigan o'zgaruvchilar bo'lmasa, tenglamalardan birini o'zgartiring, shunda ular bir -birini bekor qila oladilar. Quyidagi misollarni ko'rib chiqing, shunda siz ularni oson tushunasiz:
- Muammodagi tenglamalar 3x - y = 3 va - x + 2y = 4.
- Birinchi tenglamani o'zgarmaydigan qilib o'zgartiraylik y bir -biringizni bekor qiling. (Siz o'zgaruvchini ishlatishingiz mumkin x. Olingan yakuniy javob bir xil bo'ladi.)
- O'zgaruvchan - y birinchi tenglamada tomonidan olib tashlanishi kerak + 2y ikkinchi tenglamada. Qanday qilib, ko'paytiring - y 2 bilan.
- Tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha 2 ga ko'paytiring: 2 (3x - y) = 2 (3), shunday 6x - 2y = 6. Endi, qabila - 2y bilan bir -birini bekor qiladi +2y ikkinchi tenglamada.
3 -qadam. Ikki tenglamani birlashtiring
Hiyla shundaki, birinchi tenglamaning o'ng tomonini ikkinchi tenglamaning o'ng tomoniga qo'shish va birinchi tenglamaning chap qismini ikkinchi tenglamaning chap tomoniga qo'shish. Agar to'g'ri bajarilgan bo'lsa, o'zgaruvchilardan biri bir -birini bekor qiladi. Keling, oldingi misoldan hisoblashni davom ettirishga harakat qilaylik:
- Sizning ikkita tenglamangiz 6x - 2y = 6 va - x + 2y = 4.
- Ikkala tenglamaning chap tomonlarini qo'shing: 6x - 2y - x + 2y =?
- Ikkala tenglamaning o'ng tomonlarini qo'shing: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Qadam 4. Oxirgi o'zgarmaydigan qiymatni oling
Murakkab tenglamangizni soddalashtiring va oxirgi o'zgaruvchining qiymatini olish uchun standart algebra bilan ishlang. Agar soddalashtirilgandan so'ng, tenglamaning o'zgaruvchilari bo'lmasa, ushbu bo'limning oxirgi bosqichiga o'ting.
Aks holda, siz o'zgaruvchilardan biri uchun qiymat olasiz. Misol tariqasida:
- Ma'lum 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Guruh o'zgaruvchilari x va y birgalikda: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Tenglamani soddalashtiring: 5x = 10
- X qiymatini toping: (5x)/5 = 10/5, olish uchun x = 2.
5 -qadam. Boshqa o'zgaruvchining qiymatini toping
Siz bitta o'zgaruvchining qiymatini topdingiz, lekin boshqasi haqida nima deyish mumkin? Qolgan o'zgaruvchining qiymatini topish uchun javobingizni tenglamalardan biriga qo'shing. Misol tariqasida:
- Ma'lum x = 2, va muammadagi tenglamalardan biri 3x - y = 3.
- X o'zgaruvchini 2 ga almashtiring: 3 (2) - y = 3.
- Tenglamadagi y qiymatini toping: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, shunday 6 = 3 + y
- 3 = y
Qadam 6. Ikki o'zgaruvchi bir -birini bekor qilganda nima qilish kerakligini biling
Ba'zida ikkita tenglamani birlashtirish natijasida mantiqiy bo'lmagan yoki muammoni hal qilishga yordam bermaydigan tenglama paydo bo'ladi. O'z ishingizni qayta ko'rib chiqing va agar siz noto'g'ri ish qilmaganingizga amin bo'lsangiz, quyidagi ikkita javobdan birini yozing:
- Agar birlashtirilgan tenglamaning o'zgaruvchilari bo'lmasa va u to'g'ri bo'lmasa (masalan, 2 = 7), bu muammo javob yo'q. Bu javob ikkala tenglama uchun ham amal qiladi. (Bu chizilganida, bu ikkita tenglama parallel va hech qachon bir -biriga mos kelmaydi.)
- Agar birlashtirilgan tenglamaning o'zgaruvchilari bo'lmasa va To'g'ri, (masalan, 0 = 0), ya'ni savolga ega cheksiz javoblar. Bu ikkita tenglama bir -biriga o'xshash. (Grafik chizilganida, bu ikkita tenglama bir xil chiziq.)
3 -usul 3: Tenglamalar grafigini chizish
Qadam 1. Bu usulni faqat ko'rsatma berilganda bajaring
Agar siz kompyuter yoki grafik kalkulyatoridan foydalanmasangiz, bu usul faqat taxminiy javoblarni berishi mumkin. O'qituvchingiz yoki darsligingiz sizga tenglamalarni chiziq sifatida chizish odatini olish uchun ushbu usuldan foydalanishingizni aytishi mumkin. Bu usul yuqoridagi usullardan birining javobini tekshirish uchun ham ishlatilishi mumkin.
Asosiy fikr shundaki, siz ikkita tenglamani tasvirlab, ularning kesishish nuqtasini topishingiz kerak. Bu kesishish nuqtasidagi x va y qiymati muammoning javobidir
2-qadam. Ikkala tenglamaning y-qiymatlarini toping
Ikkala tenglamani birlashtirmang va har bir tenglamani formatini "y = _x + _" qilib o'zgartiring. Misol tariqasida:
- Sizning birinchi tenglamangiz 2x + y = 5. Ga o'zgartirish y = -2x + 5.
- Sizning birinchi tenglamangiz - 3x + 6y = 0. Ga o'zgartirish 6y = 3x + 0, va soddalashtiring y = x + 0.
- Agar sizning ikkita tenglamangiz bir xil bo'lsa, butun chiziq ikkita tenglamaning "kesishishi" dir. Yozish cheksiz javoblar javob sifatida.
3 -qadam. Koordinata o'qlarini chizish
Grafik qog'ozga vertikal "y o'qi" va gorizontal "x o'qi" chizig'ini chizish. Ikki o'qning kesishish nuqtasidan (0, 0) boshlab, 1, 2, 3, 4 va shunga o'xshash raqamli yorliqlarni yozing, y o'qi bo'yicha yuqoriga va x o'qida o'ngga ishora qiling.. Shundan so'ng, y o'qiga ketma -ket pastga, x o'qiga chapga yo'naltirilgan -1, -2 va hokazo raqam belgilarini yozing.
- Agar sizda grafik qog'oz bo'lmasa, o'lchagichdan foydalanib, har bir raqam orasidagi bo'shliq bir xil ekanligiga ishonch hosil qiling.
- Agar siz ko'p sonli yoki o'nli kasrlardan foydalanayotgan bo'lsangiz, biz grafikni kattalashtirishni tavsiya qilamiz (masalan, 1, 2, 3 o'rniga 10, 20, 30 yoki 0, 1, 0, 2, 0, 3).
4-qadam. Har bir tenglama uchun y kesishish nuqtasini chizing
Agar tenglama formada bo'lsa y = _x + _, tenglama chizig'i y o'qi bilan kesishadigan nuqtani belgilab, grafik chizishni boshlashingiz mumkin. Y qiymati har doim tenglamadagi oxirgi raqam bilan bir xil bo'ladi.
-
Oldingi misolni davom ettirib, birinchi qator (y = -2x + 5) da y o'qini kesib o'tadi
5 -qadam.. ikkinchi qator (y = x + 0) da y o'qini kesib o'tadi 0. (Bu nuqtalar grafikda (0, 5) va (0, 0) deb yozilgan.)
- Iloji bo'lsa, har xil rangli qalam yoki qalam bilan birinchi va ikkinchi qatorlarni chizish.
Qadam 5. Chiziqni davom ettirish uchun qiyalikdan foydalaning
Tenglama formatida y = _x + _, x oldidagi raqam chiziqning "qiyalik darajasini" ko'rsatadi. Har safar x bittaga ko'paytirilsa, y qiymati qiyalik darajalari soniga ko'payadi. Ushbu ma'lumotdan foydalanib, x = 1 bo'lganda grafikdagi har bir satr uchun nuqtalarni toping (Siz har bir tenglamaga x = 1 ni kiritib, y qiymatini topishingiz mumkin.)
- Oldingi misolni davom ettirib, chiziq y = -2x + 5 qiyalikka ega - 2. X = 1 nuqtada chiziq harakatlanadi pastga x = 0 nuqtadan 2 ga. (0, 5) ni (1, 3) bilan bog'laydigan chiziq chizing.
- Chiziq y = x + 0 qiyalikka ega ½. X = 1da chiziq harakatlanadi minish x = 0 nuqtadan. (0, 0) ni (1,) bilan bog'laydigan chiziq chizish.
- Agar ikkita chiziq bir xil qiyalikka ega bo'lsa, ikkalasi hech qachon kesishmaydi. Shunday qilib, bu tenglamalar tizimiga javob yo'q. Yozish javob yo'q javob sifatida.
Qadam 6. Ikki chiziq kesishguncha chiziqlarni ulashda davom eting
Ishni to'xtatib, grafikni ko'rib chiqing. agar ikkita chiziq bir -birini kesib o'tgan bo'lsa, keyingi bosqichga o'ting. Agar yo'q bo'lsa, ikkita satrning pozitsiyasiga qarab qaror qabul qiling:
- Agar ikkita chiziq bir -biriga yaqinlashsa, chiziqlaringizning nuqtalarini ulashda davom eting.
- Agar ikkita chiziq bir -biridan uzoqlashsa, orqaga qayting va nuqtalarni qarama -qarshi yo'nalishda bog'lang, x = 1 dan boshlab.
- Agar ikkita chiziq bir -biridan juda uzoqda bo'lsa, sakrab o'tib, nuqtalarni bir -biridan uzoqroqqa bog'lab ko'ring, masalan x = 10.
Qadam 7. Kesishgan nuqtada javobni toping
Ikkala chiziq kesishganidan so'ng, x va y qiymatlari sizning muammoingizga javob bo'ladi. Agar omadingiz bo'lsa, javob butun son bo'ladi. Masalan, bizning misolimizda ikkita chiziq nuqtada kesishadi (2, 1) shuning uchun javob x = 2 va y = 1. Ba'zi tenglamalar tizimida chiziq kesishgan nuqta ikkita butun son o'rtasida bo'ladi va agar grafik unchalik to'g'ri bo'lmasa, x va y qiymatlari kesishish nuqtasida qaerda ekanligini aniqlash qiyin. Agar ruxsat berilsa, javob sifatida "x 1 dan 2 gacha" deb yozishingiz yoki javobni topish uchun almashtirish yoki yo'q qilish usulidan foydalanishingiz mumkin.
Maslahatlar
- Javoblarni asl tenglamaga qo'shib, ishingizni tekshirishingiz mumkin. Agar tenglama rost bo'lsa (masalan, 3 = 3), bu sizning javobingiz to'g'ri ekanligini bildiradi.
- Yo'q qilish usulini qo'llaganingizda, ba'zida tenglamani manfiy songa ko'paytirish kerak bo'ladi, shunda o'zgaruvchilar bir -birini bekor qilishi mumkin.
