Algebraik ifodalarni soddalashtirishning 3 usuli

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Algebraik ifodalarni soddalashtirishni o'rganish asosiy algebrani o'zlashtirishning kalitlaridan biri va har qanday matematik uchun eng foydali vositadir. Soddalashtirish matematiklarga murakkab, uzun va/yoki g'alati ifodalarni sodda yoki osonroq ekvivalent ifodalarga aylantirish imkonini beradi. Oddiy soddalashtirish ko'nikmalarini o'rganish juda oson - hatto matematikani yomon ko'radiganlar uchun ham. Bir necha oddiy qadamlarni bajarib, matematikadan hech qanday maxsus bilimlarni ishlatmasdan, algebraik ifodalarning eng ko'p ishlatiladigan turlarini soddalashtirish mumkin. Ishni boshlash uchun 1 -qadamni ko'rib chiqing!

Qadam

Muhim tushunchalarni tushunish

1 -qadam. O'zgaruvchilar va kuchlarga ko'ra o'xshash atamalarni guruhlang

Algebrada xuddi shunday atamalar bir xil o'zgaruvchan konfiguratsiyaga ega, bir xil kuchga ega. Boshqacha qilib aytganda, ikkita atama teng bo'lishi uchun ular bir xil o'zgaruvchiga ega bo'lishi yoki umuman o'zgarmasligi kerak va har bir o'zgaruvchining kuchi bir xil yoki eksponenti yo'q. O'zgaruvchilarning tartib bo'yicha tartibi muhim emas.

Masalan, 3x² va 4x² atamalarga o'xshaydi, chunki ularning har ikkalasi ham kvadrat kuchiga ega x o'zgaruvchiga ega. Biroq, x va x² atamalarga o'xshamaydi, chunki har bir atama har xil kuchga ega x o'zgaruvchiga ega. Deyarli bir xil, -3yx va 5xz atamalarga o'xshamaydi, chunki har bir atama boshqacha o'zgaruvchiga ega.

2 -qadam. Raqamni ikkita omilning hosilasi sifatida yozish omili

Faktoring - bu berilgan sonni ko'paytiriladigan ikkita omilning mahsuloti sifatida yozish tushunchasi. Raqamlar bir nechta omillarga ega bo'lishi mumkin - masalan, 12 × 1 × 12, 2 × 6 va 3 × 4 dan olinishi mumkin, shuning uchun 1, 2, 3, 4, 6 va 12 faktorlar deyish mumkin. 12 Tasavvur qilishning yana bir usuli - sonning omillari - bu sonni butun bo'linadigan sonlar.

• Misol uchun, agar biz 20 omilni hisoblashni xohlasak, uni shunday yozishimiz mumkin 4 × 5.
• E'tibor bering, o'zgaruvchan atamalar faktorlarga ham kiritilishi mumkin. -20x, masalan, shunday yozilishi mumkin 4 (5x).
• Bosh sonlarni ajratib bo'lmaydi, chunki ularni faqat o'zlari va 1 ga bo'lish mumkin.

3 -qadam. Amallar tartibini eslab qolish uchun KaPaK BoTaK qisqartmasidan foydalaning

Ba'zan, ifodani soddalashtirish, u ishlamay qolguncha tenglamadagi operatsiyani hal qiladi. Bunday hollarda arifmetik xatolar bo'lmasligi uchun amallar tartibini eslab qolish juda muhimdir. KaPaK BoTaK qisqartmasi sizga operatsiyalar tartibini eslab qolishga yordam beradi - harflar tartibda bajarishingiz kerak bo'lgan operatsiyalar turlarini ko'rsatadi:

• Kmuvaffaqiyatsiz
• P.ko'tarish
• KAli
• Byana
• Tqo'shish
• Kmayda qisqichbaqa

3-usul 1: o'xshash shartlarni birlashtirish

1 -qadam. Tenglamangizni yozing

Butun sonli koeffitsientli va kasrlar, ildizlar va boshqalar bo'lmagan bir nechta o'zgaruvchi atamalarni o'z ichiga olgan eng oddiy algebraik tenglamalarni ko'pincha bir necha qadamda hal qilish mumkin. Ko'pgina matematik muammolar uchun, tenglamani soddalashtirish uchun birinchi qadam - uni yozib olish!

Misol muammosi sifatida, keyingi bir necha qadam uchun biz ifodani ishlatamiz 1 + 2x - 3 + 4x.

2 -qadam. O'xshash qabilalarni aniqlang

Keyin, tenglamangizdagi o'xshash atamalarni qidiring. Shuni esda tutingki, xuddi shunday atamalar bir xil o'zgaruvchi va eksponentga ega.

Masalan, 1 + 2x - 3 + 4x tenglamamizdagi o'xshash atamalarni aniqlaylik. 2x va 4x ikkalasi ham bir xil kuchga ega bo'lgan bir xil o'zgaruvchiga ega (bu holda, x ko'rsatkichi yo'q). Bundan tashqari, 1 va -3 atamalarga o'xshaydi, chunki ularning o'zgaruvchilari yo'q. Shunday qilib, bizning tenglamamizda, 2x va 4x va 1 va -3 o'xshash qabilalardir.

3 -qadam. Shunga o'xshash so'zlarni birlashtiring

Endi siz o'xshash atamalarni aniqlaganingizdan so'ng, siz ularni tenglashtirishni soddalashtirish uchun birlashtira olasiz. Bir xil o'zgaruvchiga va eksponentga ega bo'lgan atamalar to'plamini bitta teng atamaga kamaytirish uchun atamalarni qo'shing (yoki manfiy atamalarda olib tashlang).

• Keling, misolimizga o'xshash atamalarni qo'shamiz.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Qadam 4. Soddalashtirilgan atamalardan sodda tenglamani yarating

O'zingizga yoqqan atamalarni birlashtirgandan so'ng, yangi, kichikroq atamalar to'plamidan tenglama tuzing. Siz oddiy tenglamaga ega bo'lasiz, unda asl tenglamadagi o'zgaruvchilar va kuchlarning har xil to'plamlari uchun bitta atama mavjud. Bu yangi tenglama asl tenglamaga teng.

Bizning misolimizda soddalashtirilgan atamalarimiz 6x va -2, shuning uchun bizning yangi tenglamamiz 6x - 2. Bu oddiy tenglama asl nusxaga teng (1 + 2x - 3 + 4x), lekin qisqa va ishlash osonroq. Yana bir muhim soddalashtirish mahoratini quyida ko'rib chiqamiz.

Qadam 5. o'xshash atamalarni birlashtirishda amallar tartibiga rioya qiling

Yuqoridagi misolda biz ishlagan kabi juda oddiy tenglamalarda o'xshash atamalarni aniqlash oson. Biroq, yanada murakkab tenglamalarda, masalan, qavsli atamalar, kasrlar va ildizlarni o'z ichiga olgan iboralar kabi, birlashtirilishi mumkin bo'lgan atamalar aniq ko'rinmasligi mumkin. Bunday hollarda, qo'shish va ayirish amallari qolmaguncha, kerak bo'lganda sizning ifodangizdagi shartlar bo'yicha amallarni bajarib, amallar tartibiga rioya qiling.

• Masalan, 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x tenglamasidan foydalanaylik. Darhol 3x va 2x ni atamalar kabi ko'rib chiqish va ularni birlashtirish noto'g'ri bo'lar edi, chunki ifodadagi qavslar avval boshqa amallarni bajarishimiz kerakligini ko'rsatadi. Birinchidan, biz ishlata oladigan atamalarni olish uchun amallar tartibida ifoda bo'yicha arifmetik amallarni bajaramiz. Quyidagilarni ko'ring:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Endi, qolgan operatsiyalar faqat qo'shish va ayirish bo'lgani uchun, biz atamalarni birlashtira olamiz.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

3 -usul 2: Faktoring

Qadam 1. Ifodadagi eng katta umumiy omilni aniqlang

Faktoring - bu iboradagi o'xshash atamalarda bir xil bo'lgan omillarni olib tashlash orqali ifodani soddalashtirish usuli. Boshlash uchun, barcha atamalarga ega bo'lgan eng katta umumiy omilni toping - boshqacha qilib aytganda, ifoda tarkibidagi barcha atamalarni bo'ladigan eng katta son.

• Keling, 9x tenglamadan foydalanamiz² + 27x - 3. E'tibor bering, bu tenglamadagi har bir atama 3 ga bo'linadi, chunki atamalar kattaroq sonlarga bo'linmagan, shuning uchun aytishimiz mumkin.

  3 -qadam. bizning eng katta umumiy omilimizdir.

2 -qadam. Ifodadagi atamalarni eng katta umumiy omilga ajrating

Keyin, tenglamangizdagi har bir atamani siz topgan eng katta umumiy omilga bo'ling. Qismlar shartlari asl tenglamaga qaraganda kichikroq koeffitsientga ega bo'ladi.

• Keling, tenglamamizni eng katta umumiy omil bilan hisoblaylik. Buning uchun biz har bir atamani 3 ga bo'lamiz.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Shunday qilib, bizning yangi ifodamiz 3x² + 9x - 1.

3 -qadam. O'z ifodangizni qolgan atamalarga ko'paytirilgan eng katta umumiy omilning mahsuloti sifatida yozing

Sizning yangi ifodangiz asl ifodangizga teng kelmaydi, shuning uchun bu iborani soddalashtirilgan deb aytish noto'g'ri bo'ladi. Bizning yangi ifodamiz asl nusxaga teng bo'lishi uchun, biz o'z ifodamizni eng katta umumiy omilga bo'lishini o'z ichiga olishimiz kerak. Yangi ifodani qavs ichiga oling va qavs ichida ifoda koeffitsienti sifatida asl tenglamaning eng katta umumiy omilini yozing.

Bizning misol tenglamamiz uchun 3x² + 9x - 1, biz ifodani qavs ichiga olamiz va uni asl tenglamaning eng katta umumiy omiliga ko'paytiramiz. 3 (3x² + 9x - 1). Bu tenglama asl tenglamaga teng, 9x² +27x - 3.

Qadam 4. Kasrlarni soddalashtirish uchun faktoringdan foydalaning

Agar siz faktoring nima uchun ishlatilayotgani haqida o'ylayotgandirsiz, hatto eng katta umumiy omilni olib tashlaganingizdan keyin ham, yangi ifodani yana o'sha omilga ko'paytirish kerak bo'ladi. Aslida faktoring matematiklarga ifodalarni soddalashtirish uchun har xil fokuslarni bajarishga imkon beradi. Uning eng oson fokuslaridan biri shundaki, kasrning hisoblagichi va denominatorini bir xil songa ko'paytirish ekvivalent kasrlarni hosil qilishi mumkin. Quyidagilarni ko'ring:

• Bizning birinchi misol ifodamizni ayting, 9x² + 27x - 3 - bu katta qismning aniqlovchisi, 3 - raqam sifatida. Fraksiyon quyidagicha bo'ladi: (9x² + 27x - 3)/3. Biz kasrlarni soddalashtirish uchun faktoringdan foydalanishimiz mumkin.

  • Hisoblagichdagi ifodani asl ifodamizning faktoring shaklini almashtiraylik: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • E'tibor bering, endi hisoblagich ham, maxraj ham 3 koeffitsientiga ega. Hisoblagich va maxrajni 3 ga bo'lish, biz: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Ayirgichi 1 bo'lgan har qanday kasr hisoblagichdagi atamalarga teng bo'lgani uchun, biz aytishimiz mumkinki, bizning dastlabki kasrni soddalashtirish mumkin. 3x² + 9x - 1.

3 -usul 3: Qo'shimcha soddalashtirish ko'nikmalarini qo'llash

Qadam 1. Bir xil omillarga bo'lish orqali kasrlarni soddalashtiring

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, agar tenglamaning hisoblagichi va denominatori bir xil omillarga ega bo'lsa, kasrda bu omillarni butunlay chiqarib tashlash mumkin. Ba'zan, bu hisoblagich, denominator yoki ikkalasini (yuqoridagi masalaning misolida bo'lgani kabi) faktoringni talab qiladi, ba'zida esa bir xil omillar ko'pincha aniq bo'ladi. E'tibor bering, oddiy ifodani olish uchun, shuningdek, sonning shartlarini maxrajdagi tenglamaga birma -bir bo'lish mumkin.

• Keling, faktoringni talab qilmaydigan misol ustida ishlaylik. Kasrlar uchun (5x² + 10x + 20)/10, biz soddalashtirish uchun har bir atamani 10 ga bo'lishimiz mumkin, garchi koeffitsient 5xda 5 bo'lsa ham.² 10 dan katta emas va shuning uchun 10 omil emas.

  Agar shunday qilsak, olamiz ((5x²)/10) + x + 2. Agar xohlasak, birinchi atamani (1/2) x qilib qayta yozishimiz mumkin edi² shuning uchun biz (1/2) x ni olamiz² +x+2.

Qadam 2. Ildizlarni soddalashtirish uchun kvadrat omillardan foydalaning

Ildiz belgisi ostidagi ifodaga ildiz ifodasi deyiladi. Bu ifodani kvadrat omillarni aniqlash (butun sonlarning kvadratlari bo'lgan omillar) va ularni kvadrat ildiz belgisi ostidan olib tashlash uchun alohida -alohida ildiz operatsiyasini bajarish orqali soddalashtirish mumkin.

• Keling, oddiy misol keltiraylik - (90). Agar biz 90 ni uning 9 va 10 omillarining hosilasi deb hisoblasak, biz 9 ning kvadrat ildizini olamiz, bu butun son 3 va uni radikal belgidan olib tashlashimiz mumkin. Boshqa so'zlar bilan aytganda:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

3 -qadam. Ikki ko'rsatkichni ko'paytirganda ko'rsatkichlarni qo'shing; bo'linish paytida olib tashlang

Ba'zi algebraik iboralar kuch atamalarini ko'paytirish yoki bo'lishni talab qiladi. Har bir eksponentni qo'lda hisoblash yoki bo'lishning o'rniga, vaqtni tejash uchun ko'paytirganda eksponentlarni qo'shish va bo'linishda ayirish kerak. Bu tushuncha o'zgaruvchan ifodalarni soddalashtirish uchun ham ishlatilishi mumkin.

• Masalan, 6x ifodasini ishlataylik³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Ko'rsatkichlarni ko'paytirish yoki bo'linish kerak bo'lgan har qanday holatda, biz oddiy atamani tezda topish uchun mos ravishda eksponentlarni olib tashlaymiz yoki qo'shamiz. Quyidagilarni ko'ring:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Bu qanday ishlashini tushuntirish uchun quyida ko'ring:

  • Ko'rsatkichlar bo'yicha atamalarni ko'paytirish, aslida, uzoq eksponentlarda bo'lmagan atamalarni ko'paytirishga o'xshaydi. Masalan, chunki x³ = x × x × x va x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), yoki x⁸.
  • Deyarli bir xil, eksponentlarni bo'linish uzun eksponentlarga emas, balki shartlarni ajratishga o'xshaydi. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Hisoblagichdagi har bir atamani ayirgichda xuddi shu atamani topib kesib o'tish mumkin bo'lganligi uchun, hisoblagichda faqat ikkita x qoladi va pastki qismida hech narsa qolmaydi, x javobini beradi.².

Maslahatlar

• Har doim esda tutingki, siz bu raqamlarni ijobiy va salbiy belgilar bilan tasavvur qilishingiz kerak. Ko'p odamlar bu erda qanday belgi qo'yishim kerakligi haqida o'ylashni to'xtatadilar.
• Agar sizga kerak bo'lsa, yordam so'rang!
• Algebraik ifodalarni soddalashtirish oson emas, lekin buni tushunganingizdan so'ng, siz uni butun umr ishlatasiz.

Ogohlantirish

• Har doim o'xshash qabilalarni qidiring va martabaga aldanmang.
• Tasodifan bo'lmasligi kerak bo'lgan raqamlar, kuchlar yoki operatsiyalarni qo'shmasligingizga ishonch hosil qiling.