Polinomda daraja deb nomlanuvchi kuchga ega bo'lgan o'zgaruvchi (x) va bir nechta atamalar va/yoki doimiylar mavjud. Ko'p polinomni omillashtirish - bu tenglamani ko'paytirish mumkin bo'lgan oddiy tenglamalarga bo'lish demakdir. Bu ko'nikma Algebra 1 va undan yuqori darajalarda, agar sizning matematik ko'nikmalaringiz bu darajada bo'lmasa, tushunish qiyin bo'lishi mumkin.
Qadam
Boshlash
Qadam 1. Tenglamangizni o'rnating
Kvadrat tenglamaning standart formati:
bolta2 + bx + c = 0
Tenglamangizdagi atamalarni, xuddi shu standart formatda bo'lgani kabi, eng yuqori darajadan eng past darajagacha buyurtma qilishdan boshlang. Masalan:
6 + 6x2 + 13x = 0
Biz bu tenglamani tartibini o'zgartiramiz, shunda atamalarni ko'chirish orqali ishlash osonroq bo'ladi:
6x2 + 13x + 6 = 0
2 -qadam. Quyidagi usullardan birini ishlatib shakl faktorini toping
Ko'p polinomni ajratish ikkita oddiy tenglamaga olib keladi, ularni ko'p polliga chiqarish mumkin:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Bu misolda (2x + 3) va (3x + 2) asl tenglamaning omillari, 6x2 +13x+6.
3 -qadam. Ishingizni tekshiring
Sizda mavjud bo'lgan omillarni ko'paytiring. Keyin shartlarni birlashtiring va ishingiz tugadi. Boshlash:
(2x + 3) (3x + 2)
Keling, PLDT yordamida atamalarni ko'paytirishga harakat qilaylik (birinchi - tashqarida - ichkarida - oxirgi), natijada:
6x2 + 4x + 9x + 6
Bu erdan biz 4x va 9x qo'shishimiz mumkin, chunki ular atamalarga o'xshaydi. Biz omillar to'g'ri ekanligini bilamiz, chunki biz asl tenglamamizni olamiz:
6x2 + 13x + 6
6 -usul 1: sinov va xato
Agar sizda juda oddiy polinom bo'lsa, siz ularni ko'rib chiqish orqali omillarni o'zingiz topa olasiz. Masalan, amaliyotdan so'ng, ko'plab matematiklar 4x tenglamani aniqlay oladilar2 + 4x + 1 ga tez -tez qarash orqali (2x + 1) va (2x + 1) faktorlari mavjud. (Albatta, bu murakkab polinomlar uchun oson bo'lmaydi). Bu misol uchun, tez -tez ishlatilmaydigan tenglamadan foydalanaylik:
3x2 + 2x - 8
1 -qadam. A va c termini omillari ro'yxatini yozing
Balta tenglamasi formatidan foydalanish2 + bx + c = 0, a va c atamalarini aniqlang va ikkala atamaga ega bo'lgan omillarni yozing. 3x uchun2 + 2x - 8, ma'nosi:
a = 3 va omillar to'plamiga ega: 1 * 3
c = -8 va to'rtta omillarga ega: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 va -1 * 8.
2 -qadam. Bo'sh joyli ikkita qavsni yozing
Siz yaratgan bo'sh joylarni har bir tenglama uchun doimiylar bilan to'ldirasiz:
(x) (x)
3 -qadam. X oldidagi bo'sh joylarni a qiymatining mumkin bo'lgan juft omillari bilan to'ldiring
Bizning misolimizdagi a atamasi uchun 3x2, bizning misolimiz uchun faqat bitta imkoniyat bor:
(3x) (1x)
4 -qadam. X dan keyin ikkita bo'sh joyni doimiylar uchun juft faktorlar bilan to'ldiring
Aytaylik, biz 8 va 1 ni tanlaymiz. Ularga yozing:
(3x
8 -qadam.)(
1 -qadam
Qadam 5. x o'zgaruvchi va son orasidagi belgini (ortiqcha yoki minus) aniqlang
Asl tenglamadagi belgilarga qarab, sobit belgilarni qidirish mumkin. Faraz qilaylik, biz ikkita omil uchun h va k ikkita sobitni chaqiramiz:
Agar bolta bo'lsa2 + bx + c keyin (x + h) (x + k)
Agar bolta bo'lsa2 - bx - c yoki bolta2 + bx - c keyin (x - h) (x + k)
Agar bolta bo'lsa2 - bx + c keyin (x - h) (x - k)
Bizning misolimiz uchun 3x2 + 2x - 8, belgilar: (x - h) (x + k), bizga ikkita omil beradi:
(3x + 8) va (x - 1)
Qadam 6. Tanlovlaringizni birin-ketin ko'paytirish (PLDT) yordamida sinab ko'ring
Birinchi tezkor test - bu o'rta davr hech bo'lmaganda to'g'ri qiymatga ega ekanligini tekshirish. Aks holda, siz noto'g'ri omillarni tanlagan bo'lishingiz mumkin. Keling, javobimizni sinab ko'ramiz:
(3x + 8) (x - 1)
Ko'paytirish orqali biz quyidagilarni olamiz:
3x2 - 3x + 8x - 8
(-3x) va (8x) kabi atamalarni qo'shib, bu tenglamani soddalashtirib, biz:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Biz bilamizki, biz noto'g'ri omillardan foydalanganmiz:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Qadam 7. Agar kerak bo'lsa, tanlovingizni o'zgartiring
Bizning misolimizda 1 va 8 o'rniga 2 va 4 ni sinab ko'raylik:
(3x + 2) (x - 4)
Endi bizning c atamamiz -8, lekin bizning tashqi/ichki mahsulotimiz (3x * -4) va (2 * x) -12x va 2x bo'lib, ular to'g'ri b +2x muddatini bermaydi.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Qadam 8. Agar kerak bo'lsa, buyurtmani o'zgartiring
Keling, 2 va 4 ni almashtirishga harakat qilaylik:
(3x + 4) (x - 2)
Endi, bizning c atamamiz (4 * 2 = 8) to'g'ri, lekin tashqi/ichki mahsulot -6x va 4x. Agar biz ularni birlashtirsak:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Biz qidirayotgan 2xga juda yaqinmiz, lekin bu belgi noto'g'ri.
Qadam 9. Agar kerak bo'lsa, teglaringizni ikki marta tekshiring
Biz xuddi shu tartibni ishlatamiz, lekin minus belgisi bo'lgan tenglamalarni almashtiramiz:
(3x - 4) (x + 2)
Endi "c" atamasi hech qanday muammo emas va hozirgi tashqi/ichki mahsulot (6x) va (-4x). Chunki:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Endi biz asl muammodan ijobiy 2x dan foydalanishimiz mumkin. Bu to'g'ri omillar bo'lishi kerak.
6 -ning 2 -usuli: parchalanish
Bu usul a va c atamalarining barcha mumkin bo'lgan omillarini aniqlaydi va ulardan to'g'ri omillarni topish uchun foydalanadi. Agar raqamlar juda katta bo'lsa yoki taxmin qilish vaqtni talab qilsa, bu usuldan foydalaning. Misol keltiraylik:
6x2 + 13x + 6
1 -qadam. A muddatini a soniga ko'paytiring
Bu misolda a 6 va c ham 6 ga teng.
6 * 6 = 36
Qadam 2. Faktoring va test yordamida b atamasini oling
Biz aniqlagan a * c mahsulotining omillari bo'lgan ikkita raqamni qidiramiz va b (13) atamasiga qo'shamiz.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3 -qadam. B atamasini qo'shish natijasida tenglamangizga kirgan ikkita sonni almashtiring
Keling, 4 va 9 raqamlarini ko'rsatish uchun k va h ni ishlatamiz:
bolta2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
4 -qadam. Polinomni guruhlarga ajratish
Tenglamalarni shunday tuzingki, siz birinchi va ikkinchi atamalarning eng katta umumiy omilini qabul qilasiz. Faktorlar guruhi bir xil bo'lishi kerak. Eng Buyuk Umumiy Faktorni qo'shing va omillar guruhi yonidagi qavs ichiga joylashtiring; Natijada sizning ikkita omilingiz bor:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
6 -ning 3 -usuli: Uch marta o'ynash
Parchalanish usuli singari, uch tomonlama o'yin usuli a va c atamalarini ko'paytirish va b qiymatidan foydalanishning mumkin bo'lgan omillarini o'rganadi. Tenglama misolini ishlatishga harakat qiling:
8x2 + 10x + 2
1 -qadam. A muddatini a soniga ko'paytiring
Tahlil usuli singari, bu bizga b davriga nomzodlarni aniqlashga yordam beradi. Bu misolda a - 8, c - 2.
8 * 2 = 16
2 -qadam. Raqamlarga ko'paytirilganda, bu son umumiy soniga teng b soniga teng bo'lgan ikkita sonni toping
Bu qadam tahlil qilish bilan bir xil - biz doimiylarni nomzodlarni tekshiramiz va bekor qilamiz. A va c atamalari mahsuloti 16 ga, c atamasi esa 10 ga teng:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Qadam 3. Bu ikkita raqamni oling va ularni uch martalik formulaga ulab sinab ko'ring
Oldingi qadamdagi ikkita raqamimizni oling - h va k deb ataymiz va ularni tenglamaga qo'shamiz:
((ax + h) (ax + k))/ a
Biz olamiz:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4 -qadam. Hisoblagichdagi ikkita atamaning birortasi a ga bo'linishiga e'tibor bering
Bu misolda biz (8x + 8) yoki (8x + 2) 8 ga bo'linishini ko'rdik. (8x + 8) 8 ga bo'linadi, shuning uchun biz bu atamani a ga ajratamiz va boshqa omillarni yolg'iz qoldiramiz.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Qavs ichidagi atama - bu a atamasiga bo'lgandan keyin qolgan narsa.
5 -qadam. Agar mavjud bo'lsa, bir yoki ikkala atamaning eng katta umumiy omilini (GCF) oling
Bu misolda, ikkinchi muddat, GCF 2 ga ega, chunki 8x + 2 = 2 (4x + 1). Bu natijani oldingi bosqichdan olgan atamangiz bilan birlashtiring. Bu sizning tenglamangizdagi omillar.
2 (x + 1) (4x + 1)
6 -ning 4 -usuli: Kvadrat ildizlarning farqi
Polinomlardagi ba'zi koeffitsientlar "kvadratlar" yoki ikkita sonning hosilasi bo'lishi mumkin. Bu kvadratchalarni aniqlash sizga ko'p polinomlarni tezroq ajratish imkonini beradi. Bu tenglamani sinab ko'ring:
27x2 - 12 = 0
Qadam 1. Iloji bo'lsa, eng katta umumiy omilni olib tashlang
Bunday holda, biz 27 va 12 ni 3 ga bo'linishini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
2 -qadam. Tenglamangiz koeffitsientlari kvadrat sonlar ekanligini aniqlang
Ushbu usuldan foydalanish uchun siz ikkala atamaning kvadrat ildizini olishingiz kerak. (E'tibor bering, biz salbiy belgini e'tiborsiz qoldiramiz - chunki bu raqamlar kvadrat bo'lib, ular ikkita musbat yoki manfiy sonning hosilasi bo'lishi mumkin)
9x2 = 3x * 3x va 4 = 2 * 2
Qadam 3. Kvadrat ildizdan foydalanib, omillarni yozing
Biz a va c qiymatlarini yuqoridagi qadamimizdan olamiz - a = 9 va c = 4, keyin kvadrat ildizni topamiz - a = 3 va c = 2. Natijada omil tenglamasining koeffitsienti olinadi:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
6 -ning 5 -usuli: Kvadrat formulalar
Agar hamma narsa bajarilmasa va tenglamani bir butunga bo'lish mumkin bo'lmasa, kvadratik formuladan foydalaning. Ushbu misolni sinab ko'ring:
x2 + 4x + 1 = 0
Qadam 1. Kvadrat formulaga kerakli qiymatlarni kiriting:
x = -b ± (b2 - 4 soat)
2a
Biz tenglamani olamiz:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
2 -qadam. X qiymatini toping
Siz ikkita qiymatni olasiz. Yuqorida ko'rsatilgandek, biz ikkita javobni olamiz:
x = -2 + (3) yoki x = -2 -(3)
Qadam 3. Faktorlarni topish uchun x-qiymatidan foydalaning
Siz olgan x qiymatlarini ikkita polinomli tenglamaga sobit qilib ulang. Natijada sizning omillaringiz. Agar biz javoblarimizni h va k deb atasak, ikkita omilni quyidagicha yozamiz:
(x - h) (x - k)
Bu misolda bizning oxirgi javobimiz:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
6 -dan 6 -usul: Kalkulyatordan foydalanish
Agar sizga kalkulyatordan foydalanishga ruxsat berilgan bo'lsa, grafik kalkulyatori faktoring jarayonini ancha osonlashtiradi, ayniqsa standartlashtirilgan testlar uchun. Bu ko'rsatmalar TI grafik kalkulyatori uchun. Biz misol tenglamasidan foydalanamiz:
y = x2 x 2
Qadam 1. Kalkulyatorga tenglamangizni kiriting
Siz ekranda [Y =] yozilgan tenglamaning faktoringini ishlatasiz.
2 -qadam. Kalkulyator yordamida tenglamangizni grafik qiling
Tenglamani kiritganingizda [GRAPH] tugmasini bosing - siz tenglamangizni ifodalovchi tekis egri chiziqni ko'rasiz (va shakl egri, chunki biz polinomlardan foydalanamiz).
Qadam 3. egri chiziqning x o'qi bilan kesishgan joyini toping
Ko'p polinomli tenglamalar odatda bolta sifatida yozilganligi uchun2 + bx + c = 0, bu kesishish x ning ikkinchi qiymati bo'lib, tenglamani nolga tenglashtiradi:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Agar siz grafikning x o'qi bilan kesishishini aniqlay olmasangiz, [2] va keyin [TRACE] tugmasini bosing. [2] tugmasini bosing yoki nolni tanlang. Kursorni chorrahaning chap tomoniga o'tkazing va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni chorrahaning o'ng tomoniga o'tkazing va [ENTER] tugmasini bosing. Kursorni iloji boricha chorrahaga yaqinlashtiring va [ENTER] tugmasini bosing. Kalkulyator x qiymatini topadi. Buni boshqa chorrahalar uchun ham qiling
Qadam 4. Oldingi bosqichdan olingan x qiymatini ikki faktorli tenglamaga ulang
Agar biz x va k qiymatlarining ikkalasini ham nomlagan bo'lsak, biz ishlatadigan tenglamalar quyidagicha bo'ladi:
(x - h) (x - k) = 0
Shunday qilib, bizning ikkita omilimiz:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Maslahatlar
- Agar sizda TI-84 kalkulyatori (grafik) bo'lsa, sizning kvadrat tenglamalaringizni echadigan SOLVER dasturi mavjud. Bu dastur har qanday darajadagi polinomlarni echadi.
- Agar atama yozilmagan bo'lsa, koeffitsient 0 ga teng. Agar shunday bo'lsa, tenglamani qayta yozish foydali bo'ladi, masalan: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Agar siz polinomingizni kvadratik formuladan foydalanib aniqlagan bo'lsangiz va ildizlar bo'yicha javob olgan bo'lsangiz, tekshirish uchun x qiymatini kasrga aylantirishingiz mumkin.
- Agar atamada yozma koeffitsient bo'lmasa, koeffitsient 1 ga teng, masalan: x2 = 1x2.
- Etarli amaliyotdan so'ng, oxir -oqibat boshingizdagi polinomlarni aniqlay olasiz. Buni qilmaguningizcha, har doim qanday qilish kerakligini yozib qo'ying.
