3X3 matritsaning aniqlovchisini qanday aniqlash mumkin: 11 qadam (rasmlar bilan)

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Matritsalarning determinanti ko'pincha hisoblash, chiziqli algebra va geometriyada yuqori darajada qo'llaniladi. Akademiyadan tashqari, kompyuter grafikasi muhandislari va dasturchilari doimo matritsalar va ularning determinantlaridan foydalanadilar. Agar siz 2x2 tartibli matritsaning determinantini qanday aniqlashni bilsangiz, 3x3 tartibli matritsaning determinantini aniqlash uchun qo'shish, ayirish va vaqtni ishlatishni o'rganishingiz kerak.

Qadam

2 -qismning 1 -qismi: Determinantlarni aniqlash

3 x 3 buyurtma matritsasini yozing. Biz 3x3 tartibli A matritsadan boshlaymiz va determinantni topishga harakat qilamiz | A |. Quyida biz foydalanadigan matritsa yozuvining umumiy shakli va matritsamiz misoli keltirilgan:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Qadam 1. Qator yoki ustunni tanlang

Tanlovni mos yozuvlar qatori yoki ustuniga aylantiring. Qaysi birini tanlasangiz ham, siz bir xil javobni olasiz. Vaqtincha birinchi qatorni tanlang. Sizga keyingi bo'limda hisoblashning eng oson variantini tanlash bo'yicha bir necha takliflar beramiz.

Namuna matritsaning birinchi qatorini tanlang. A raqamini aylantiring 5 5 3. Umumiy yozuvda a₁₁ a₁₂ a₁₃.

2 -qadam. Birinchi elementingizning qatori va ustunini kesib o'ting

Siz aylantirgan qator yoki ustunga qarang va birinchi elementni tanlang. Qator va ustunlarni kesib tashlang. Faqat tegmagan 4 ta raqam qoladi. Bu 4 ta raqamni 2 x 2 tartibli matritsaga aylantiring.

• Bizning misolimizda mos yozuvlar qatorimiz 1 5 3. Birinchi element 1 -qator va 1 -ustunda. 1 -qatorni va 1 -ustuni to'liq kesib tashlang. Qolgan elementlarni 2 x 2 matritsaga yozing:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

3 -qadam. 2 x 2 tartibli matritsaning determinantini aniqlang

Esda tuting, matritsaning determinantini aniqlang [^{a_v b_d] tomonidan eramizdan avvalgi. 2 x 2 matritsa orasidagi X chizish orqali matritsaning determinantini aniqlashni ham o'rgangan bo'lishingiz mumkin. X ning / chizig'i bilan bog'langan ikkita sonni ko'paytiring. Keyin chiziq bilan bog'langan ikkita sonni necha marta olib tashlang. bor. 2 x 2 matritsaning determinantini hisoblash uchun ushbu formuladan foydalaning.}

• Masalan, matritsaning determinanti [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Bu determinant deyiladi kichik dastlabki matritsada siz tanlagan elementlar. Bu holatda, biz faqat a ning kichikini topdik₁₁.

Qadam 4. Siz tanlagan element tomonidan topilgan sonni ko'paytiring

Yodingizda bo'lsin, qaysi satr va ustunlarni ajratish kerakligini hal qilganingizda, siz mos yozuvlar qatoridan (yoki ustunidan) elementlarni tanladingiz. Siz topgan 2 x 2 matritsaning determinantiga ushbu elementni ko'paytiring.

Masalan, biz a ni tanlaymiz₁₁ bu 1. Bu raqamni -34 ga ko'paytiring (2 x 2 matritsaning determinanti) 1*-34 = - 34.

5 -qadam. Javobingizning ramzini aniqlang

Keyingi qadam, siz javobni 1 yoki -1 ga ko'paytirishingiz kerak kofaktor siz tanlagan element. Siz foydalanadigan belgi 3 x 3 matritsadagi elementlarning qayerda joylashganligiga bog'liq. Esda tutingki, bu belgi jadvali elementingizning ko'paytmasini aniqlash uchun ishlatiladi:

• + - +
• - + -
• + - +
• Chunki biz a ni tanlaymiz₁₁ +bilan belgilangan, biz sonni +1 ga ko'paytiramiz (yoki boshqacha aytganda, uni o'zgartirmang). Ko'rsatilgan javob bir xil bo'ladi, ya'ni - 34.
• Belgini aniqlashning yana bir usuli-formuladan foydalanish (-1) ^{i+j - bu erda i va j - satr va ustun elementlari.}

Qadam 6. Bu jarayonni mos yozuvlar qatori yoki ustunidagi ikkinchi element uchun takrorlang

Oldin satr yoki ustunni aylanib chiqqan asl 3 x 3 matritsaga qayting. Xuddi shu jarayonni element bilan takrorlang:

• Elementning qatori va ustunini kesib o'ting.

  Bunday holda, a elementini tanlang₁₂ (bu 5 ga teng). 1 -qatorni (1 5 3) va 2 -ustuni (5 4 6) kesib o'ting.

• Qolgan elementlarni 2x2 matritsaga aylantiring.

  Bizning misolimizda, ikkinchi element uchun 2x2 tartibli matritsa [.²₄ ⁷₂].

• Ushbu 2x2 matritsaning determinantini aniqlang.

  Ad - bc formulasidan foydalaning. (2*2 - 7*4 = -24)

• 3x3 matritsasi elementlariga ko'paytiring.

  -24 * 5 = -120

• Yuqoridagi natijani -1 ga ko'paytirish yoki qilmaslikni hal qiling.

  Belgilar yoki formulalar jadvalidan foydalaning (-1)^ij. A elementini tanlang₁₂ ramziy - ramzlar jadvalida. Javob belgisini quyidagi bilan almashtiring: (-1)*(-120) = 120.

Qadam 7. Xuddi shu jarayonni uchinchi element uchun takrorlang

Determinantni aniqlash uchun sizda yana bitta kofaktor bor. Malumot qatori yoki ustunidagi uchinchi element uchun i ni hisoblang. Bu erda kofaktor a ni hisoblashning tezkor usuli₁₃ bizning misolimizda:

• [Olish uchun 1 -qator va 3 -ustunni kesib o'ting.²₄ ⁴₆].
• Determinant 2*6 - 4*4 = -4.
• A elementiga ko'paytiring₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ ramzlar jadvalidagi belgi +, shuning uchun javob - 12.

Qadam 8. Uchta hisob natijasini qo'shing

Bu oxirgi qadam. Siz uchta kofaktorni hisobladingiz, bittadan satr yoki ustunda. Ushbu natijalarni qo'shing va siz 3 x 3 matritsaning determinantini topasiz.

Masalan, matritsaning determinanti - 34 + 120 + - 12 = 74.

2 -qismning 2 -qismi: muammolarni hal qilishni osonlashtirish

Qadam 1. Eng ko'p 0 ga ega bo'lgan havolalar qatorini yoki ustunini tanlang

Esda tutingki, siz xohlagan satr yoki ustunni tanlashingiz mumkin. Qaysi birini tanlasangiz ham, javob bir xil bo'ladi. Agar siz 0 raqami bo'lgan qator yoki ustunni tanlasangiz, kofaktorni faqat 0 bo'lmagan elementlar bilan hisoblashingiz kerak, chunki:

• Masalan, a elementi bo'lgan 2 -qatorni tanlang₂₁, a₂₂, fond₂₃. Bu muammoni hal qilish uchun biz 3 xil 2 x 2 matritsadan foydalanamiz, aytaylik A₂₁, A.₂₂, Siz₂₃.
• 3x3 matritsaning determinanti a₂₁| A.₂₁| - a₂₂| A.₂₂| + a₂₃| A.₂₃|.
• Agar a₂₂ fond₂₃ qiymati 0, mavjud formula a bo'ladi₂₁| A.₂₁| - 0*| A.₂₂| + 0*| A.₂₃| = a₂₁| A.₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A.₂₁|. Shuning uchun biz faqat bitta elementning kofaktorini hisoblaymiz.

Qadam 2. Matritsa muammolarini osonlashtirish uchun qo'shimcha qatorlardan foydalaning

Agar siz qiymatlarni bir qatordan olib, boshqa qatorga qo'shsangiz, matritsaning determinanti o'zgarmaydi. Xuddi shu narsa ustunlar uchun ham amal qiladi. Buni matritsada iloji boricha ko'p 0 olish uchun uni qo'shishdan oldin takroriy yoki doimiy bilan ko'paytirish mumkin. Bu ko'p vaqtni tejashi mumkin.

• Masalan, sizda 3 qatorli matritsa bor: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• A holatida bo'lgan 9 raqamini yo'q qilish uchun₁₁, siz 2 -qatordagi qiymatni -3 ga ko'paytirib, natijani birinchi qatorga qo'shishingiz mumkin. Endi yangi birinchi qator [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Yangi matritsada [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2] qatorlari bor. A qilish uchun ustunlar uchun bir xil hiyla ishlating₁₂ 0 raqami bo'ling.

3 -qadam. Uchburchak matritsalar uchun tezkor usulni qo'llang

Bu alohida holatda, determinant asosiy diagonaldagi elementlarning hosilasi, a₁₁ chap tomonning yuqori qismida₃₃ matritsaning o'ng pastki qismida. Bu matritsa baribir 3x3 matritsasi, lekin "uchburchak" matritsasi 0 bo'lmagan maxsus raqamli naqshga ega:

• Yuqori uchburchak matritsa: 0 bo'lmagan barcha elementlar asosiy diagonalda yoki undan yuqori. Asosiy diagonali ostidagi barcha raqamlar 0 ga teng.
• Pastki uchburchak matritsa: 0 bo'lmagan barcha elementlar asosiy diagonalda yoki pastda joylashgan.
• Diagonal matritsa: 0 bo'lmagan barcha elementlar asosiy diagonalda joylashgan (yuqoridagi matritsalar turkumi).

Maslahatlar

• Agar satr yoki ustunning barcha elementlari 0 bo'lsa, matritsaning determinanti 0 ga teng.
• Bu usul har qanday kvadrat matritsalar uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar siz ushbu usuldan 4x4 tartibli matritsa uchun foydalansangiz, sizning "zarbangiz" 3x3 tartibli matritsani qoldiradi, uning determinanti yuqoridagi amallarni bajarib aniqlanishi mumkin. Esingizda bo'lsin, buni qilish zerikarli bo'lishi mumkin!