Darhol tezlikni hisoblashning 3 usuli

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Tezlik - bu ob'ektning ma'lum bir yo'nalishdagi tezligi. Ko'p holatlarda tezlikni topish uchun biz v = s/t tenglamadan foydalanishimiz mumkin, bu erda v tezlikka, s ob'ektning boshlang'ich pozitsiyasidan umumiy masofaga va t vaqtga teng. Biroq, bu usul ob'ektning joy almashishidagi "o'rtacha" tezlik qiymatini beradi. Hisoblash yordamida siz jismning istalgan nuqtadagi tezligini hisoblashingiz mumkin. Bu qiymat "tezlik tezligi" deb nomlanadi va uni tenglama bilan hisoblash mumkin v = (ds)/(dt), yoki boshqacha aytganda, ob'ektning o'rtacha tezligi uchun tenglamaning hosilasi.

Qadam

3 -usul 1: Bir zumda tezlikni hisoblash

Qadam 1. Ob'ektning joy almashish tezligi tenglamasidan boshlang

Ob'ektning bir zumlik tezligining qiymatini olish uchun, avvalo, ma'lum bir vaqtda uning o'rnini (joy almashishi bo'yicha) tasvirlaydigan tenglamaga ega bo'lishimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, tenglama o'zgaruvchiga ega bo'lishi kerak s (u yolg'iz turadi) bir tomonda va t boshqa tomondan (lekin mustaqil bo'lishi shart emas), masalan:

s = -1.5t²+10t+4

Tenglamada o'zgaruvchilar quyidagilar:

Joylashtirish = s. Bu ob'ektning boshlanish nuqtasidan bosib o'tgan masofasi. Masalan, agar ob'ekt 10 metr oldinga va 7 metr orqaga harakat qilsa, unda umumiy yurgan masofasi 10 - 7 = ga teng 3 metr (10 + 7 = 17 metr emas).

Vaqt = t. Bu o'zgaruvchi o'z-o'zidan tushunarli. Odatda soniyalarda ifodalanadi. # Tenglama hosilasini oling. Tenglama hosilasi - bu ma'lum bir nuqtadan qiyalik qiymatini beradigan boshqa tenglama. Ob'ektni almashtirish formulasining hosilasini topish uchun quyidagi umumiy qoida yordamida funktsiyani chiqaring: Agar y = a*x bo'lsa , Lotin = a*n*x^n-1. Bu qoida tenglamaning "t" tomonida joylashgan har qanday komponenta uchun amal qiladi.

Lahzali tezlikni hisoblash 2 -qadam
Boshqacha aytganda, tenglamaning "t" tomonini chapdan o'ngga tushish bilan boshlang. Har safar "t" qiymatiga yetganingizda, eksponent qiymatidan 1ni olib tashlang va butunni asl ko'rsatkichga ko'paytiring. Har qanday sobit ("t" bo'lmagan o'zgarmaydiganlar) yo'qoladi, chunki ular 0 ga ko'paytiriladi. Bu jarayon o'ylaganchalik qiyin emas, misol uchun yuqoridagi qadamda tenglamani chiqaraylik:

s = -1.5t²+10t+4

(2) -1,5t^(2-1)+ (1) 10t^{1 - 1} + (0) 4t⁰

-3t¹ + 10t⁰

- 3t + 10

2 -qadam. "S" o'zgaruvchisini "ds/dt" ga almashtiring

"Yangi tenglamangiz oldingi tenglamaning hosilasi ekanligini ko'rsatish uchun" s "ni" ds/dt "bilan almashtiring. Texnik nuqtai nazardan, bu belgi" t ga nisbatan s ning hosilasi "degan ma'noni anglatadi. Buni tushunishning oddiy usuli bu ds. /dt -birinchi tenglamaning istalgan nuqtasidagi qiyalik (qiyalik) qiymati, masalan s = -1.5t tenglamadan chizilgan chiziqning qiyaligini aniqlash.² T = 5 da + 10t + 4, biz "5" qiymatini lotin tenglamasiga qo'shishimiz mumkin.

Amaldagi misolda birinchi lotin tenglamasi endi shunday bo'ladi:

ds/sek = -3t + 10

3 -qadam. Tezlik qiymatini olish uchun t qiymatini yangi tenglamaga ulang

Endi sizda lotin tenglamasi bo'lsa, istalgan nuqtada bir zumda tezlikni topish oson. Siz qilishingiz kerak bo'lgan narsa - t uchun qiymatni tanlash va uni lotin tenglamasiga ulash. Masalan, agar siz t = 5 tezlikdagi tezlikni topmoqchi bo'lsangiz, ds/dt = -3 + 10 lotin tenglamasida t qiymatini "5" ga almashtirishingiz mumkin. Keyin tenglamani shunday yeching:

ds/sek = -3t + 10

ds/sek = -3 (5) + 10

ds/sek = -15 + 10 = - 5 metr/soniya

E'tibor bering, yuqorida ishlatilgan birlik "metr/soniya" dir. Chunki biz hisoblaydigan narsa - bu metr va vaqt soniyalarda (soniyalarda) va umuman tezlik - ma'lum vaqtdagi joy almashishidir, bu birlikdan foydalanish maqsadga muvofiqdir

3 -usul 2: bir zumda tezlikni grafik jihatdan baholash

Qadam 1. Ob'ektning vaqt o'tishi bilan siljishining grafigini chizing

Yuqoridagi bo'limda lotin siz keltirayotgan tenglama uchun berilgan nuqtada qiyalikni topish formulasi sifatida ko'rsatilgan. Aslida, agar siz ob'ektning siljishini grafikdagi chiziq sifatida ifodalasangiz, "chiziqning har bir nuqtadagi qiyaligi uning shu nuqtadagi bir lahzalik tezligining qiymatiga teng".

Ob'ektning siljishini tasvirlash uchun vaqtni ifodalash uchun x dan, joy almashtirishni ifodalash uchun y dan foydalaning. Keyin tenglamaga t qiymatini qo'shib, nuqtalarni chizib oling, shuning uchun grafigingiz uchun s qiymatini oling, grafikda t, s ni belgilang (x, y).
E'tibor bering, sizning grafikingiz x o'qidan past bo'lishi mumkin. Agar sizning ob'ektingiz harakatini ifodalovchi chiziq x o'qining ostiga etib borsa, demak, ob'ekt dastlabki holatidan orqaga siljigan. Umuman olganda, sizning grafikingiz y o'qining orqa tomoniga etib bormaydi, chunki biz o'tayotgan ob'ektning tezligini o'lchay olmaymiz!

Qadam 2. Qatordagi P va Q qo'shni nuqtasini tanlang

Chiziqning qiyalik nuqtasini P nuqtada olish uchun biz "chegarani olish" deb nomlangan hiyla ishlatishimiz mumkin. Chegarani egallash egri chiziqda ikkita nuqta (P va Q, yaqin nuqta) va P va Q masofalari yaqinlashguncha ularni bir necha marta bog'lab chiziqning qiyaligini topishni o'z ichiga oladi.

Aytaylik, ob'ektning siljish chizig'ida (1, 3) va (4, 7) qiymatlari mavjud. Bunday holda, agar biz nishabni (1, 3) nuqtada topmoqchi bo'lsak, aniqlay olamiz (1, 3) = P. va (4, 7) = Q.

3 -qadam. P va Q orasidagi qiyalikni toping

P va Q o'rtasidagi qiyalik-bu P va Q uchun y o'qlarining farqi, P va Q uchun x o'qi qiymatining farqi. Boshqacha aytganda, H = (y_Q - y_P.)/(x_Q - x_P.), bu erda H - ikki nuqta orasidagi qiyalik. Bizning misolimizda P va Q orasidagi qiyalik qiymati

H = (y_Q- y_P.)/(x_Q- x_P.)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

4 -qadam. Q ni P ga yaqinroq qilib, bir necha marta takrorlang

Sizning maqsadingiz nuqtaga o'xshash P va Q orasidagi masofani kamaytirishdir. P va Q orasidagi masofa qanchalik yaqin bo'lsa, P nuqtadagi chiziqning qiyaligi shunchalik yaqin bo'ladi. Buni misol sifatida ishlatilgan tenglama bilan bir necha marta bajaring (2, 4.8), (1.5, 3.95) va (1.25, 3.49) Q sifatida va boshlang'ich nuqtasi (1, 3) P sifatida:

Q = (2, 4.8):

H = (4,8 - 3)/(2 - 1)

H = (1,8)/(1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)

H = (.95)/(. 5) = 1.9

Q = (1.25, 3.49):

H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)

H = (.49)/(. 25) = 1.96

5 -qadam. Chiziq qiyaligini juda kichik masofaga baholang

Q $ P $ ga yaqinlashganda $ H $ nuqta qiyaligining qiymatiga tobora yaqinlashib bormoqda. Oxir -oqibat, u juda kichik qiymatga yetganda, $ H $ qiyaligiga teng bo'ladi, chunki biz juda kichik masofalarni o'lchay olmaymiz va hisoblay olmaymiz, biz harakat qilayotgan nuqtadan aniq bo'lgandan keyingina biz P ning qiyaligini taxmin qilishimiz mumkin.

Misolda, Q ni P ga yaqinlashtirganimizda, H uchun 1,8, 1,9 va 1,96 qiymatlarni olamiz, chunki bu sonlar 2 ga yaqin bo'lgani uchun, ayta olamizki, 2 - P ning taxminiy qiyaligi.
Shuni esda tutingki, chiziqning istalgan nuqtasidagi qiyalik chiziq tenglamasining hosilasiga teng. Amaldagi chiziq ob'ektning vaqt o'tishi bilan siljishini ko'rsatadi va biz oldingi bo'limda ko'rib turganimizdek, ob'ektning bir lahzalik tezligi uning ma'lum bir nuqtada siljishining hosilasidir, shuning uchun biz "2 metr/soniya " - bu lahzali tezlikning t = 1dagi taxminiy qiymati.

3 -usul 3: Namuna savollar

Bir lahzali tezlikni hisoblang 10 -qadam

Qadam 1. s = 5t joy almashtirish tenglamasidan t = 4 dagi lahzali tezlik qiymatini toping.³ - 3t² +2t+9.

Bu muammo birinchi qismdagi misol bilan bir xil, faqat bu tenglik kuch tenglamasi emas, balki kubik tenglamasidir, shuning uchun biz bu masalani xuddi shunday hal qila olamiz.

Birinchidan, biz tenglamaning hosilasini olamiz:

s = 5t³- 3t²+2t+9

s = (3) 5t^{(3 - 1)} - (2) 3t^{(2 - 1)} + (1) 2t^{(1 - 1) + (0) 9t^{0 - 1}}

15t⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2t⁽⁰⁾

15t⁽²⁾ - 6t + 2

Keyin t (4) qiymatini kiriting:

s = 15t⁽²⁾- 6t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 22 metr/soniya

Qadam 2. s = 4t joy almashtirish tenglamasi uchun (1, 3) lahzali tezlikni topish uchun grafik smetadan foydalaning.² - t.

Bu masala uchun biz (1, 3) nuqtani P nuqta sifatida ishlatamiz, lekin shu nuqtaga tutash bo'lgan boshqa nuqtani Q nuqtasi sifatida belgilashimiz kerak. Keyin biz H qiymatini aniqlab, taxmin qilishimiz kerak.

Birinchidan, avval t = 2, 1.5, 1.1 va 1.01 da Q qiymatini toping.

s = 4t²- t

t = 2:

s = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, shuning uchun Q = (2, 14)

t = 1,5:

s = 4 (1,5)² - (1.5)

4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, shuning uchun Q = (1,5, 7,5)

t = 1.1:

s = 4 (1.1)² - (1.1)

4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, shuning uchun Q = (1.1, 3.74)

t = 1.01:

s = 4 (1.01)² - (1.01)

4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, shuning uchun Q = (1.01, 3.0704)

Keyin H qiymatini aniqlang:

Q = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

11 -qadam.

Q = (1,5, 7,5):

H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)

H = (4,5)/(. 5) =

9 -qadam.

Q = (1.1, 3.74):

H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)

H = (.74)/(. 1) = 7.3

Q = (1.01, 3.0704):

H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

H = (.0704)/(. 01) = 7.04

H ning qiymati 7 ga juda yaqin bo'lgani uchun, buni aytishimiz mumkin 7 metr/soniya(1, 3) da taxminiy lahzali tezlik.

Maslahatlar

Tezlanishning qiymatini (vaqt o'tishi bilan tezlikni o'zgartirish) topish uchun birinchi bo'limdagi usuldan foydalanib, joy almashish funktsiyasining hosilasi tenglamasini oling. Keyin, bu safar olingan tenglamadan kelib chiqqan holda, tenglamani yana yarating. Bu sizga tezlikni istalgan vaqtda topish uchun tenglamani beradi, faqat vaqt qiymatini kiritish kifoya.
Y (joy almashish) qiymatini X (vaqt) bilan bog'laydigan tenglama juda oddiy bo'lishi mumkin, masalan Y = 6x + 3. Bunday holda qiyalik qiymati doimiy bo'lib, uni hisoblash uchun hosilani topishga hojat yo'q., bu erda to'g'ri chiziq tenglamasiga ko'ra, Y = mx + b 6 ga teng bo'ladi.
O'zgarish masofaga o'xshaydi, lekin yo'nalishga ega, shuning uchun joy almashish - vektor miqdori, masofa - skalyar miqdor. Ko'chirish qiymati salbiy bo'lishi mumkin, lekin masofa har doim ijobiy bo'ladi.