Kvadrat grafikni qanday chizish mumkin: 10 qadam (rasmlar bilan)

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-02-01 14:16

Grafik tasvirlanganida kvadrat tenglama shaklga ega bo'ladi bolta² + bx + c yoki a (x - h)² + k U harfini yoki parabola deb nomlangan teskari U egri chizig'ini hosil qiling. Kvadrat tenglamani chizish tepalikni, yo'nalishni va ko'pincha x va y kesishishni qidiradi. Kvadrat tenglamalar juda oddiy bo'lgan hollarda, x qiymatlar to'plamini kiritish va natija nuqtalari asosida egri chizish etarli bo'lishi mumkin. Ishni boshlash uchun quyidagi 1 -qadamga qarang.

Qadam

Qadam 1. Sizda mavjud bo'lgan kvadrat tenglamaning shaklini aniqlang

Kvadrat tenglamalarni uch xil shaklda yozish mumkin: umumiy shakl, tepalik shakli va kvadrat shakli. Kvadrat tenglamani chizish uchun har qanday shakldan foydalanishingiz mumkin; har bir grafikni tasvirlash jarayoni biroz boshqacha. Agar siz uy vazifasini bajarayotgan bo'lsangiz, odatda siz savollarni ushbu ikki shakldan birida olasiz - boshqacha qilib aytganda, siz tanlay olmaysiz, shuning uchun ikkalasini ham tushunish yaxshidir. Kvadrat tenglamaning ikkita shakli:

• Umumiy shakl.

  Bu shaklda kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi: f (x) = ax² + bx + c - bu erda a, b va c haqiqiy sonlar va a nol emas.

  Masalan, umumiy shakldagi ikkita kvadrat tenglama f (x) = x² + 2x + 1 va f (x) = 9x² + 10x -8.

• Eng yuqori shakli.

  Bu shaklda kvadratik tenglama quyidagicha yoziladi: f (x) = a (x - h)² + k bu erda a, h va k haqiqiy sonlar va a nol emas. U tepalik shakli deb ataladi, chunki h va k darhol parabolangizning tepasini (o'rta nuqtasini) (h, k) nuqtaga beradi.

  Ikki tepalik shakli tenglamalari f (x) = 9 (x - 4)² + 18 va -3 (x - 5)² + 1

• Har qanday turdagi tenglamani chizish uchun, avvalo, parabolaning tepasini topishimiz kerak, u egri uchining o'rtasi (h, k). Umumiy shaklda cho'qqilar koordinatalari quyidagicha hisoblanadi: h = -b/2a va k = f (h), tepalik shaklida esa h va k tenglamada.

Qadam 2. O'zgaruvchilaringizni aniqlang

Kvadratik masalani echish uchun odatda a, b va c (yoki a, h va k) o'zgaruvchilarni aniqlash kerak. Oddiy algebra muammosi mavjud o'zgaruvchilar bilan kvadratik tenglama beradi, odatda umumiy shaklda, lekin ba'zida tepalik shaklida.

• Masalan, umumiy shakli f (x) = 2x tenglamasi uchun² + 16x + 39, bizda a = 2, b = 16 va c = 39 bor.
• Eng yuqori shakl uchun tenglama f (x) = 4 (x - 5)² + 12, bizda a = 4, h = 5 va k = 12 bor.

3 -qadam. H ni hisoblang

Tepalik shakli tenglamasida sizning h qiymati allaqachon berilgan, lekin umumiy shakl tenglamasida h qiymatini hisoblash kerak. Esda tutingki, umumiy shakldagi tenglamalar uchun h = -b/2a.

• Bizning umumiy shaklda misolimiz (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Yechgandan so'ng, biz h = ni topamiz - 4.
• Bizning tepalik shaklidagi misol (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), biz bilamizki, h = 5 hech qanday matematika qilmasdan.

Qadam 4. k ni hisoblang

H kabi, k allaqachon tepalik shakli tenglamasida ma'lum. Umumiy formadagi tenglamalar uchun k = f (h) ekanligini unutmang. Boshqacha qilib aytganda, siz tenglamangizdagi barcha x qiymatlarini yangi topilgan h qiymatlari bilan almashtirish orqali k ni topishingiz mumkin.

• Biz allaqachon umumiy shaklimizda h = -4 ekanligini aniqladik. K ni topish uchun biz tenglamamizni x o'rniga x qiymatini qo'shib hal qilamiz:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -qadam.

• Bizning eng yuqori namunali misolimizda, biz hech qanday matematikaga muhtoj bo'lmasdan, k qiymatini bilamiz (bu 12 ga teng).

5 -qadam. O'z cho'qqingizni chizib oling

Parabolangizning tepa nuqtasi (h, k)-h x koordinatasini, k esa y koordinatasini ifodalaydi. Tepalik parabolangizning o'rta nuqtasidir - U pastki qismida yoki teskari U tepasida. Tepaliklarni bilish aniq parabola chizishning muhim qismidir - ko'pincha, maktab ishlarida, tepalikni aniqlash - bu savolni qidirish kerak bo'lgan qism.

• Bizning umumiy shakldagi misolimizda bizning cho'qqimiz (-4, 7). Shunday qilib, bizning parabola 0 va 7 qadam yuqoridan (0, 0) chapga 4 qadam bilan yakunlanadi. Biz koordinatalarni belgilashga ishonch hosil qilib, bu nuqtani grafigimizda tasvirlashimiz kerak.
• Bizning tepalik shakli misolida bizning tepamiz (5, 12). Biz 5 qadam o'ngga va 12 qadam yuqoriga (0, 0) nuqta chizishimiz kerak.

Qadam 6. Parabola o'qini chizish (ixtiyoriy)

Parabolaning simmetriya o'qi - bu uning o'rtasidan o'tib, aynan o'rtasiga bo'linadigan chiziq. Bu o'qda parabolaning chap tomoni o'ng tomonini aks ettiradi. Bolta shaklida kvadrat tenglamalar uchun² + bx + c yoki a (x - h)² + k, simmetriya o'qi-y o'qiga parallel (boshqacha aytganda, to'g'ri vertikal) va tepadan o'tuvchi chiziq.

Bizning umumiy shakl misolimizda, o'q-y o'qiga parallel va (-4, 7) nuqtadan o'tuvchi chiziq. Parabolaning bir qismi bo'lmasa -da, bu chiziqni grafigingizga ingichka qilib belgilash oxir -oqibat parabola egri chizig'ining nosimmetrik shaklini ko'rishga yordam beradi

Qadam 7. Parabolaning ochilish yo'nalishini toping

Parabolaning tepasi va o'qini bilganimizdan so'ng, biz parabolaning ochilishini yoki pastga tushishini bilishimiz kerak. Yaxshiyamki, bu oson. Agar a qiymati musbat bo'lsa, parabola yuqoriga qarab ochiladi, agar a qiymati manfiy bo'lsa, parabola pastga qarab ochiladi (ya'ni, parabola teskari bo'ladi).

• Bizning umumiy shakl uchun misol (f (x) = 2x² + 16x + 39), bizda ochiladigan parabola borligini bilamiz, chunki tenglamamizda a = 2 (musbat).
• Bizning tepalik shakli uchun misol (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), bizda ham ochiladigan parabola borligini bilamiz, chunki a = 4 (musbat).

Qadam 8. Agar kerak bo'lsa, x-kesmani toping va chizing

Ko'pincha, maktab ishlarida sizdan paraboladagi x-kesmani topishingiz so'raladi (bu parabola x o'qiga to'g'ri keladigan bir yoki ikki nuqta). Agar siz topa olmasangiz ham, bu ikkita nuqta aniq parabola chizish uchun juda muhimdir. Biroq, hamma parabolalarda x-kesishish mavjud emas. Agar sizning parabolangiz ochiladigan tepalikka ega bo'lsa va uning tepasi x o'qining tepasida bo'lsa yoki u pastga ochilsa va tepasi x o'qining ostida bo'lsa, parabolada x-kesishish bo'lmaydi. Aks holda, x-interceptni quyidagi usullardan biri bilan hal qiling:

• Faqat f (x) = 0 qilib, tenglamani yeching. Bu usul oddiy kvadrat tenglamalar uchun, ayniqsa tepalik shaklida qo'llanilishi mumkin, lekin murakkab tenglamalar uchun juda qiyin bo'ladi. Misol uchun pastga qarang

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Ildiz (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 va 13 paraboladagi x-kesishmasidir.

• Tenglamangizga omil bo'ling. Balta shaklidagi ba'zi tenglamalar² + bx + c ni (dx + e) (fx + g) formasiga osongina kiritish mumkin, bu erda dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx va e × g = c. Bunday holda, sizning x-kesishlaringiz x qiymatlari bo'lib, ular har qanday atamani qavs ichida = 0 qiladi. Masalan:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Bunday holda, sizning yagona x -kesishishingiz -1 bo'ladi, chunki x ni -1 ga tenglashtirish qavs ichidagi har qanday omilni 0 ga teng qiladi.

• Kvadrat formuladan foydalaning. Agar siz x-kesmani osonlikcha hal qila olmasangiz yoki tenglamangizni aniqlay olmasangiz, buning uchun yaratilgan kvadratik formuladan foydalaning. Agar u hali hal qilinmagan bo'lsa, tenglamangizni ax boltiga aylantiring² + bx + c, keyin a, b va c ni x = (-b +/- sqrt (b) formulasiga kiriting.² - 4ac))/2a. E'tibor bering, bu usul sizga x qiymatiga ikkita javob beradi, bu yaxshi-bu sizning parabolada ikkita x-kesishganligini bildiradi. Misol uchun quyida ko'ring:

  • -5x² + 1x + 10 kvadrat formulaga quyidagicha kiritiladi:
  • x = (-1 +/- Ildiz (1)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Ildiz (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Ildiz (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) va (-15, 18/-10). Paraboladagi x-kesishish x = ga teng - 1, 318 va 1, 518
  • Bizning oldingi umumiy misol shakli, 2x² +16x+39 kvadrat formulaga quyidagicha kiritiladi:
  • x = (-16 +/- Ildiz (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Ildiz (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Ildiz (-56)/-10
  • Salbiy sonning kvadrat ildizini topish imkonsiz bo'lgani uchun, biz bilamizki, bu parabola x-kesishish yo'q.

9-qadam. Agar kerak bo'lsa, y-kesmani toping va chizing

Tenglamalarda y-kesishishni qidirishning hojati yo'q (parabola y o'qi orqali o'tadigan nuqta), lekin oxir-oqibat, ayniqsa maktabda bo'lsangiz, uni topishingiz kerak bo'ladi. Jarayon juda oddiy-faqat x = 0 qiling, keyin f (x) yoki y uchun tenglamangizni eching, bu sizning parabolangiz y o'qidan o'tadigan y qiymatini beradi. X-kesishdan farqli o'laroq, oddiy parabolada faqat bitta y-kesishish bo'lishi mumkin. Eslatma-umumiy shakldagi tenglamalar uchun y-kesishish y = c darajasida.

• Masalan, biz kvadrat tenglamamiz 2x ekanligini bilamiz² + 16x + 39 y = 39 da y-kesishmasiga ega, lekin uni quyidagicha topish mumkin:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolaning y-kesishishi at y = 39.

    Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, y-kesishish y = c darajasida.

• Bizning tepalik tenglamamiz shakli 4 (x - 5)² + 12 ning y-kesishmasiga ega, uni quyidagicha topish mumkin:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolaning y-kesishishi at y = 112.

10 -qadam. Agar kerak bo'lsa, qo'shimcha nuqtalarni, so'ngra grafikni chizish

Endi sizning tenglamangizda tepalik, yo'nalish, x-kesish va, ehtimol, y-kesishish mavjud. Bu bosqichda siz o'zingizning parabolangizni ko'rsatma sifatida olgan nuqtalar yordamida chizishga harakat qilishingiz yoki chizgan egri chizig'ingiz aniqroq bo'lishi uchun parabolangizni to'ldirish uchun boshqa nuqtalarni qidirishingiz mumkin. Buni qilishning eng oson yo'li-tepalikning istalgan tomoniga ba'zi x-qiymatlarni kiritish, so'ngra siz olgan y-qiymatlari yordamida bu nuqtalarni tuzish. Ko'pincha, o'qituvchilar sizdan parabolani chizishdan oldin bir nechta nuqtalarni qidirishingizni so'rashadi.

• Keling, x tenglamani ko'rib chiqaylik² + 2x + 1. Biz bilamizki, x -kesishish faqat x = -1da. Egri chiziq faqat bir nuqtada x-kesishmasiga tegganligi uchun, biz xulosa qilishimiz mumkinki, tepalik uning x-kesishmasidir, ya'ni tepalik (-1, 0). Bu parabola uchun bizda faqat bitta nuqta bor - yaxshi parabola chizish uchun etarli emas. To'liq grafik chizishimizga ishonch hosil qilish uchun boshqa fikrlarni qidiramiz.

  • Quyidagi x qiymatlari uchun y qiymatlarini topamiz: 0, 1, -2 va -3.
  • 0 uchun: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Bizning fikrimiz (0, 1).

  • 1 uchun: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Bizning fikrimiz (1, 4).

  • -2 uchun: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Bizning fikrimiz (-2, 1).

  • -3 uchun: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Bizning fikrimiz (-3, 4).

  • Grafikda bu nuqtalarni chizib, U shaklidagi egri chizig'ingizni chizing. E'tibor bering, parabola juda nosimmetrikdir - agar parabolaning bir tomonidagi nuqtalaringiz butun son bo'lsa, siz odatda parabolaning simmetriya o'qida berilgan nuqtani aks ettirishni kamaytirib, parabolaning boshqa tomonida bir xil nuqtani topishingiz mumkin..

Maslahatlar

• Algebra o'qituvchisining iltimosiga binoan raqamlarni yumaloqlang yoki kasrlardan foydalaning. Bu sizga kvadrat tenglamani yaxshiroq chizishga yordam beradi.
• E'tibor bering, f (x) = axda² + bx + c, agar b yoki c nolga teng bo'lsa, bu raqamlar yo'qoladi. Masalan, 12x² + 0x + 6 12x bo'ladi² + 6, chunki 0x - 0.