Yashirin funktsiyalarni qanday chiqarish mumkin: 7 qadam (rasmlar bilan)

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-19 22:14

Hisob -kitobda, y uchun tenglama x shaklida yozilganda (masalan, y = x² -3x), lotinni topish uchun asosiy matematik usullardan (matematiklar yopiq funktsiya hosilasi texnikasi deb ataladi) foydalanish oson. Biroq, tenglik belgisining bir tomonida faqat y atamasi bilan tuzilishi qiyin bo'lgan tenglamalar uchun (masalan, x² + y² - 5x + 8y + 2ksi² = 19), boshqa yondashuv kerak. To'g'ridan-to'g'ri funktsiya lotinlari deb nomlangan usul yordamida, aniq funktsiyali lotinlarning asoslarini bilsangiz, ko'p o'zgaruvchan tenglamalarning hosilalarini topish oson!

Qadam

2 -usul 1: oddiy tenglamalarni tez chiqarish

Qadam 1. Odatdagidek x shartlarini chiqaring

X kabi ko'p o'zgaruvchan tenglamani chiqarishga urinayotganda² + y² - 5x + 8y + 2ksi² = 19, qaerdan boshlashni bilish qiyin bo'lishi mumkin. Yaxshiyamki, yopiq funktsiyani hosil qilishning birinchi bosqichi eng oson. Oddiy (aniq) lotin qoidalaridan kelib chiqib, tenglamaning har ikki tomonidagi x-atamalari va doimiylarini oling. Hozircha y shartlarini e'tiborsiz qoldiring.

• Keling, yuqoridagi oddiy tenglamaga misol keltirishga harakat qilaylik. x² + y² - 5x + 8y + 2ksi² = 19 ikkita x: x shartiga ega² va -5x. Agar biz tenglamani olishni istasak, buni avval shunday qilishimiz kerak:

  x² + y² - 5x + 8y + 2ksi² = 19

  (2 dyuymni x ga olib keling² koeffitsient sifatida x -5xda olib tashlang va 19 ni 0 ga o'zgartiring)

  2x + y² - 5 + 8y + 2ksi² = 0

2 -qadam. Y shartlarini chiqaring va har bir atama yoniga (dy/dx) qo'shing

Keyingi qadam uchun, x shartlarini olganingiz kabi, y shartlarini ham oling. Ammo bu safar har bir atama yoniga (dy/dx) qo'shing, chunki siz koeffitsientlarni qo'shasiz. Masalan, agar siz y ni tushirsangiz², keyin hosilasi 2y (dy/dx) bo'ladi. Hozircha x va y bo'lgan atamalarga e'tibor bermang.

• Bizning misolimizda, bizning tenglamamiz endi shunday ko'rinadi: 2x + y² - 5 + 8y + 2ksi² = 0. Biz y olishning keyingi bosqichini quyidagicha bajaramiz:

  2x + y² - 5 + 8y + 2ksi² = 0

  (Yilda 2 kuchiga keltiring² koeffitsient sifatida 8y da y ni olib tashlang va har bir atama yoniga dy/dx qo'ying).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2ksi²= 0

3 -qadam. X va y ega bo'lgan atamalar uchun mahsulot qoidasi yoki qism qoidasidan foydalaning

X va y harflari bilan ishlash biroz murakkab, lekin agar siz mahsulot qoidalari va lotinlar uchun kotirovkalarni bilsangiz, buni oson topasiz. Agar x va y atamalari ko'paytirilsa, mahsulot qoidasidan foydalaning ((f × g) '= f' × g + g × f '), x muddatini f va y muddatini g ga almashtiring. Boshqa tomondan, agar x va y atamalari bir -birini istisno qilsa, kotirovka qoidasidan foydalaning ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), hisoblagichni f va maxrajni g ga almashtiring.

• Bizning misolimizda 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, bizda x va y - 2xy bo'lgan faqat bitta atama bor². X va y bir -biriga ko'paytirilgandan so'ng, biz mahsulot qoidasini quyidagicha olish uchun ishlatamiz:

  2xil² = (2x) (y²)- 2x = f va y ni o'rnating² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2y² + 4ksi (dy/dx)

• Buni asosiy tenglamaga qo'shsak, biz olamiz 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4ksi (dy/dx) = 0

Qadam 4. Yolg'iz (dy/dx)

Siz deyarli tugadingiz! Endi siz (dy/dx) tenglamani yechishingiz kerak. Bu qiyin tuyuladi, lekin odatda bunday emas - esda tutingki, a va b har qanday ikkita atama (dy/dx) ga ko'paytirilsa, ko'payishning taqsimlovchi xususiyati tufayli (a + b) (dy/dx) deb yozilishi mumkin. Bu taktika izolyatsiyani (dy/dx) osonlashtirishi mumkin - faqat boshqa barcha atamalarni qavsning boshqa tomoniga o'tkazing, so'ngra (dy/dx) yonidagi qavs ichidagi atamalarga bo'ling.

• Bizning misolimizda biz 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y ni soddalashtiramiz.² + 4xy (dy/dx) = 0 quyidagicha:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4ksi (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4ksi)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

2 -usul 2: ilg'or texnikadan foydalanish

Qadam 1. Har qanday nuqta uchun (dy/dx) topish uchun (x, y) qiymatini kiriting

Xavfsiz! Siz allaqachon tenglamangizni aniq qilib olgansiz - birinchi urinishda oson ish emas! Har qanday nuqta (x, y) uchun gradientni (dy/dx) topish uchun bu tenglamadan foydalanish, nuqta uchun x va y qiymatlarini tenglamaning o'ng tomoniga ulash, keyin topish (dy/dx).

• Misol uchun, biz yuqoridagi misol tenglamamiz uchun (3, -4) nuqtada gradientni topmoqchimiz. Buni amalga oshirish uchun biz 3 ni x va -4 ni y bilan almashtiramiz va quyidagicha hal qilamiz:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, yoki 0, 6875.

Qadam 2. Funksiyalar ichida funktsiyalar uchun zanjir qoidasidan foydalaning

Zanjir qoidasi - hisob -kitoblar (shu jumladan, funktsiyalarning hosilaviy muammolari) ustida ishlayotganda bilishning muhim qismi. Zanjir qoidasida aytilishicha, F (x) funktsiyasi uchun (f o g) (x), F (x) ning hosilasi tengdir f '(g (x)) g' (x). To'g'ridan -to'g'ri murakkab funktsiyalarning hosilaviy muammolari uchun, bu tenglamaning turli qismlarini ajratish va natijalarni birlashtirish mumkin degan ma'noni anglatadi.

• Oddiy misol sifatida, aytaylik, biz gunohning hosilasini topishimiz kerak (3x² + x) sin tenglamasi uchun kattaroq yopiq funktsiya hosilasi muammosining bir qismi sifatida (3x² + x) + y³ = 0. Agar biz gunohni tasavvur qilsak (3x² + x) f (x) va 3x sifatida² + x ni g (x) sifatida, biz lotinni quyidagicha topishimiz mumkin:

  f '(g (x)) g' (x)

  (gunoh (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

3 -qadam. X, y va z o'zgaruvchilari bo'lgan tenglamalar uchun (dz/dx) va (dz/dy) ni toping

Garchi asosiy hisob -kitoblarda g'ayrioddiy bo'lsa -da, ba'zi ilg'or ilovalar ikkitadan ortiq o'zgaruvchilarning yopiq funktsiyalarini chiqarishni talab qilishi mumkin. Har bir qo'shimcha o'zgaruvchi uchun siz uning x ga nisbatan qo'shimcha hosilasini topishingiz kerak. Misol uchun, agar sizda x, y va z bo'lsa, (dz/dy) va (dz/dx) ni qidirishingiz kerak. Biz buni x ga nisbatan tenglamani ikki marta chiqarish orqali qilishimiz mumkin - birinchidan, har safar z o'z ichiga olgan so'zni chiqarganimizda (dz/dx) kiritamiz, ikkinchidan, har safar chiqarganimizda (dz/dy) qo'shamiz. z. Shundan so'ng, faqat (dz/dx) va (dz/dy) ni hal qilish kerak.

• Masalan, x ni chiqarishga harakat qilaylik³z² - 5 ta⁵z = x² + y³.

• Birinchidan, x ga qarshi chiqaylik va (dz/dx) kiriting. Agar kerak bo'lsa, mahsulot qoidasini qo'llashni unutmang!

  x³z² - 5 ta⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5ksi⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5ksi⁵) (dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5ksi⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5ksi⁵)

• Endi (dz/dy) uchun ham xuddi shunday qiling

  x³z² - 5 ta⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25ksi⁴z - 5ksi⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5ksi⁵) (dz/dy) = 3y² + 25 ta⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25 ta⁴z)/(2x³z - 5ksi⁵)