Matematik tenglamalarni qanday soddalashtirish mumkin: 13 qadam

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Matematika o'quvchilaridan tez -tez o'z javoblarini oddiy shaklda yozishni so'rashadi - boshqacha qilib aytganda, javoblarni iloji boricha nafis yozish. Garchi uzun, qattiq va qisqa, shuningdek oqlangan tenglamalar texnik jihatdan bir xil bo'lsa -da, agar yakuniy javob oddiy ko'rinishga keltirilmasa, ko'pincha matematik muammo to'liq hisoblanmaydi. Bundan tashqari, eng oddiy shaklda javob deyarli har doim ishlashning eng oson tenglamasidir. Shu sababli, tenglamalarni soddalashtirishni o'rganish matematiklar uchun muhim mahoratdir.

Qadam

2 -usul 1: Operatsion ketma -ketligini ishlatish

Qadam 1. Amallar tartibini bilish

Matematik ifodalarni soddalashtirganda, chapdan o'ngga, chapdan o'ngga, ko'paytirish, qo'shish, ayirish va hokazolarni bajarish mumkin emas. Ba'zi matematik operatsiyalar boshqalardan ustun bo'lishi va birinchi navbatda bajarilishi kerak. Aslida, noto'g'ri operatsiya tartibidan foydalanish noto'g'ri javob berishi mumkin. Amallar tartibi: qavs ichidagi qism, daraja, ko'paytirish, bo'linish, qo'shish va nihoyat, ayirish. Siz eslay oladigan qisqartma, chunki ona yaxshi emas, yomon va kambag'al.

E'tibor bering, amallar tartibi haqidagi asosiy bilimlar eng oddiy tenglamalarni soddalashtirishi mumkin bo'lsa -da, ko'p o'zgaruvchan tenglamalarni, shu jumladan deyarli barcha polinomlarni soddalashtirish uchun maxsus texnikalar talab qilinadi. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun quyidagi ikkinchi usulni ko'ring

Qadam 2. Qavs ichidagi barcha bo'limlarni to'ldirib boshlang

Matematikada qavs ichki qismni qavs tashqarisidagi ifodadan alohida hisoblash kerakligini ko'rsatadi. Qavs ichida qanday operatsiyalar bo'lishidan qat'i nazar, tenglamani soddalashtirmoqchi bo'lganingizda, avval qavs ichidagi qismni to'ldiring. Masalan, qavs ichida qo'shish, ayirish va hokazolardan oldin ko'paytirish kerak.

• Masalan, 2x + 4 (5 + 2) + 3 tenglamani soddalashtirishga harakat qilaylik² - (3 + 4/2). Bu tenglamada biz avval qavs ichidagi qismni, ya'ni 5 + 2 va 3 + 4/2 ni echishimiz kerak. 5 + 2 =

  7 -qadam.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5 -qadam

  Ikkinchi qavsdagi qism 5 ga soddalashtirilgan, chunki amallar tartibiga ko'ra biz birinchi navbatda qavs ichida 4/2 ni ajratamiz. Agar biz faqat chapdan o'ngga ishlasak, avval 3 va 4 ni qo'shamiz, keyin 2 ga bo'linib, 7/2 noto'g'ri javob beramiz

• E'tibor bering - agar qavs ichida bir nechta qavs bo'lsa, ichki qavsdagi bo'limni, so'ngra ikkinchi ichki qismni va boshqalarni to'ldiring.

3 -qadam. Ko'rsatkichni eching

Qavslar tugagandan so'ng, tenglamangizning ko'rsatkichini aniqlang. Buni eslash oson, chunki eksponentlarda asosiy raqam va kuch bir -birining yonida. Eksponentning har bir qismiga javob toping, so'ngra eksponent qismini almashtirish uchun javobingizni tenglamaga ulang.

Qavs ichidagi qismni to'ldirgandan so'ng, bizning misol tenglamamiz endi 2x + 4 (7) + 3 bo'ladi² - 5. Bizning misolimizdagi yagona eksponensial - 3², bu 9 ga teng. Bu natijani 3 ga almashtirish uchun tenglamangizga qo'shing² natijada 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4 -qadam. Tenglamangizdagi ko'paytirish masalasini hal qiling

Keyin, tenglamangizda kerak bo'lgan ko'paytirishni bajaring. Shuni yodda tutingki, ko'paytirishni bir necha usul bilan yozish mumkin. × nuqta yoki yulduzcha belgisi - ko'paytirishni ko'rsatish usuli. Shu bilan birga, qavs yonidagi raqam yoki o'zgaruvchi (masalan, 4 (x)) ham ko'payishni bildiradi.

• Bizning muammomizda ko'paytirishning ikkita qismi bor: 2x (2x - 2 × x) va 4 (7). Biz x qiymatini bilmaymiz, shuning uchun uni 2x da qoldiramiz. 4 (7) = 4 × 7 =

  28 -qadam.. Biz tenglamamizni 2x + 28 + 9 - 5 qilib qayta yozishimiz mumkin.

5 -qadam. Bo'linishga o'ting

Tenglamalaringizda bo'linish muammolarini izlayotganingizda, ko'paytirish kabi bo'linishni ham turli yo'llar bilan yozish mumkinligini yodda tuting. Ulardan biri ramzdir, lekin shuni yodda tutingki, kesmalar va chiziqlar (masalan, 3/4) bo'linishni bildiradi.

Chunki biz qismlarni qavs ichida tugatganimizda bo'linishni (4/2) bajarganmiz. Bizning misolimizda bo'linish muammosi yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Bu muhim nuqtani ko'rsatadi - ifodani soddalashtirishda barcha operatsiyalarni bajarish shart emas, faqat sizning muammoingizdagi operatsiyalar

Qadam 6. Keyin, tenglamangizga nima bo'lsa qo'shing

Siz chapdan o'ngga ishlashingiz mumkin, lekin avval qo'shilishi oson bo'lgan raqamlarni qo'shish osonroq. Masalan, 49 + 29 + 51 + 71 muammosida 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 dan 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 va 100 + 100 = 200 ni qo'shish osonroq. va 129 + 71 = 200.

Bizning misol tenglamamiz qisman 2x + 28 + 9 - 5 ga soddalashtirilgan. Endi biz qo'sha oladigan raqamlarni qo'shishimiz kerak - har bir qo'shish muammosini chapdan o'ngga ko'rib chiqaylik. Biz 2x va 28 ni qo'sha olmaymiz, chunki biz x qiymatini bilmaymiz, shuning uchun uni o'tkazib yuboramiz. 28 + 9 = 37, 2x + 37 - 5 sifatida qayta yozilishi mumkin.

Qadam 7. Amallar ketma -ketligining oxirgi bosqichi - ayirish

Qolgan ayirish masalalarini hal qilib muammongizni davom ettiring. Siz ayirishni manfiy sonlarni qo'shish yoki oddiy qo'shish muammosi bilan bir xil qadam deb hisoblashingiz mumkin - sizning tanlovingiz javobingizga ta'sir qilmaydi.

• Bizning muammomizda, 2x + 37 - 5, faqat bitta ayirish muammosi bor. 37 - 5 =

  32 -qadam.

8 -qadam. Tenglamangizni tekshiring

Amallar tartibidan foydalanib, sizning tenglamangizni soddalashtirish kerak. Ammo, agar sizning tenglamangiz bir yoki bir nechta o'zgaruvchini o'z ichiga oladigan bo'lsa, sizning o'zgaruvchilaringiz ustida ishlash shart emasligini tushuning. O'zgaruvchini soddalashtirish uchun siz o'zgaruvchining qiymatini topishingiz yoki ifodani soddalashtirish uchun maxsus texnikadan foydalanishingiz kerak (quyidagi bosqichga qarang).

Bizning oxirgi javobimiz 2x + 32. Agar biz x ning qiymatini bilmasak, biz bu yakuniy qo'shimchani hal qila olmaymiz, lekin agar biz uning qiymatini bilgan bo'lsak, bu tenglamani echish bizning uzun asl tenglamamizga qaraganda ancha osonroq bo'lar edi

2 -usul 2: murakkab tenglamalarni soddalashtirish

Qadam 1. Bir xil o'zgaruvchiga ega bo'lgan qismlarni qo'shing

O'zgaruvchan tenglamalarni echishda, esda tutingki, bir xil o'zgaruvchiga va eksponentga (yoki bir xil o'zgaruvchiga) ega bo'lgan qismlarni oddiy sonlar kabi qo'shish va olib tashlash mumkin. Bu qism bir xil o'zgaruvchiga va ko'rsatkichga ega bo'lishi kerak. Masalan, 7x va 5x qo'shish mumkin, lekin 7x va 5x² qo'shib bo'lmaydi.

• Bu qoida ba'zi o'zgaruvchilar uchun ham amal qiladi. Masalan, 2x² -3xy bilan umumlashtirish mumkin², lekin -3x bilan yig'ish mumkin emas²y yoki -3y².
• X tenglamaga qarang² + 3x + 6 - 8x. Bu tenglamada biz 3x va -8x ni qo'shishimiz mumkin, chunki ular bir xil o'zgaruvchi va ko'rsatkichga ega. Oddiy tenglama x ga aylanadi² - 5x + 6.

Qadam 2. Kismlarni sonlarni ajratish yoki chizish orqali soddalashtiring

Hisoblagich va maxrajda faqat sonlar (va o'zgarmaydiganlar) bo'lgan kasrlarni bir necha usul bilan soddalashtirish mumkin. Birinchisi va, ehtimol, eng oson - bu kasrni bo'linish muammosi deb hisoblash va maxrajni hisoblagichga bo'lish. Bundan tashqari, hisoblagich va maxrajda paydo bo'ladigan har qanday ko'paytirish omilini kesib o'tish mumkin, chunki ikkita omilni bo'lish 1 -raqamga olib keladi.

Masalan, 36/60 kasriga qarang. Agar bizda kalkulyator bo'lsa, biz javobni olish uchun uni ajratishimiz mumkin 0, 6. Ammo, agar bizda kalkulyator bo'lmasa, biz hali ham xuddi shu omillarni kesib o'tib, soddalashtirishimiz mumkin. 36/60 tasavvur qilishning yana bir usuli - (6 × 6)/(6 × 10). Bu kasrni 6/6 × 6/10 sifatida yozish mumkin. 6/6 = 1, shuning uchun bizning kasrimiz aslida 1 × 6/10 = 6/10. Biroq, biz hali bajarilmaganmiz - 6 va 10 da bir xil omilga ega, ya'ni 2. Yuqoridagi usulni takrorlasak, natija bo'ladi 3/5.

3 -qadam. O'zgaruvchan kasrda o'zgaruvchining barcha omillarini kesib tashlang

Kesir shaklidagi o'zgarmaydigan tenglamalar soddalashtirishning o'ziga xos usuliga ega. Oddiy kasrlar singari, o'zgaruvchan kasrlar ham hisoblagich, ham denominator umumiy bo'lgan omillarni yo'q qilishga imkon beradi. Biroq, o'zgaruvchan kasrlarda bu omillar haqiqiy o'zgaruvchining raqamlari va tenglamalari bo'lishi mumkin.

• Tenglama deylik (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Bu kasrni (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x) qilib yozish mumkin, 3x ham sanagichda, ham maxrajda ko'rinadi. Bu omillarni tenglamadan kesib o'tib, natija (x + 1)/(5 - x) bo'ladi. Bir xil ifodada (2x² + 4x + 6)/2, chunki har bir qism 2 ga bo'linadi, biz tenglamani (2 (x² + 2x + 3))/2 va keyin x ga soddalashtiring² + 2x + 3.
• E'tibor bering, siz barcha bo'limlarni kesib o'tolmaysiz - faqat son va maxrajda paydo bo'lgan ko'paytirish omillarini kesib o'tishingiz mumkin. Masalan, (x (x + 2))/x ifodasida x ni ham hisoblagichdan, ham maxrajdan kesib o'tish mumkin, shunda u (x + 2)/1 = (x + 2) bo'ladi. Biroq, (x + 2)/x ni 2/1 = 2 ga kesib o'tish mumkin emas.

4 -qadam. Qavs ichidagi qismni doimiy soniga ko'paytiring

Qavs ichidagi o'zgaruvchiga ega bo'lgan qismni doimiyga ko'paytirganda, ba'zida qavs ichidagi har bir qismni konstantaga ko'paytirish oddiy tenglamaga olib kelishi mumkin. Bu faqat o'zgaruvchilarga ega bo'lgan sonlar va doimiylardan tashkil topgan sobitlarga tegishli.

• Masalan, 3 -tenglama (x² + 8) 3x ga soddalashtirilishi mumkin² + 24, holbuki 3x (x² + 8) 3x ga soddalashtirilishi mumkin³ + 24x.
• E'tibor bering, ba'zi hollarda, masalan, o'zgarmaydigan kasrlar, qavs atrofidagi doimiylarni kesib o'tish mumkin, shuning uchun ularni qavs ichidagi qismga ko'paytirish shart emas. Kasrlarda (3 (x² + 8))/3x, masalan, 3 -omil ham hisoblagichda, ham maxrajda paydo bo'ladi, shuning uchun biz uni kesib tashlashimiz va ifodani soddalashtirishimiz mumkin (x)² + 8)/x. Bu ibora (3x³ + 24x)/3x, agar biz uni ko'paytirsak, natijaga erishamiz.

Qadam 5. Faktoring orqali soddalashtiring

Faktoring - bu ba'zi o'zgaruvchan ifodalarni, shu jumladan polinomlarni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan usul. Faktoringni yuqoridagi qadamda qavs ichidagi qismga ko'paytirishning teskarisi deb o'ylang - ba'zida iborani bir butun emas, balki bir -biriga ko'paygan ikkita qism deb hisoblash mumkin. Bu, ayniqsa, faktoring tenglamasi uning qismlaridan birini kesib tashlashga imkon bersa (kasrlarda bo'lgani kabi) to'g'ri. Ayrim hollarda (ko'pincha kvadrat tenglamalarda) faktoring hatto sizga tenglamaning echimini topishga imkon beradi.

• Keling, yana x ifodasini qabul qilaylik² - 5x + 6. Bu ifodani (x - 3) (x - 2) ga bo'lish mumkin. Shunday qilib, agar x bo'lsa² - 5x + 6 - bu tenglamaning hisoblagichi, bu erda denominator (x) ifodasida bo'lgani kabi, bu omillardan biriga ega.² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), biz uni faktor shaklida yozishni xohlashimiz mumkin, shunda biz faktorni denominator bilan kesib tashlashimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) da (x - 2) qismini (x - 3)/2 deb kesib o'tish mumkin.

• Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, tenglamalarni faktorizatsiya qilishning yana bir sababi shundaki, faktoring sizga ma'lum tenglamalarga javob berishi mumkin, ayniqsa ular teng bo'lsa 0 ga teng. Masalan, tenglama x² - 5x + 6 = 0. Faktoring (x - 3) (x - 2) = 0 ni beradi. Har qanday son nolga ko'paytirilsa, bilamizki, agar qavsning biron bir qismi nolga teng bo'lsa, chapdagi barcha tenglama tenglik belgisi ham nolga teng. Shuning uchun; … uchun; … natijasida

  3 -qadam. da

  2 -qadam. tenglamaning ikkita javobi.