Kvadrat tenglamalarni yechishning 3 usuli

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-16 11:45

Kvadrat tenglama - bu eng yuqori darajasi 2 (kvadrat) bo'lgan tenglama. Kvadrat tenglamani hal qilishning uchta asosiy usuli bor: agar iloji bo'lsa, kvadratik tenglamani ko'paytirish, kvadrat formuladan foydalanish yoki kvadratni to'ldirish. Agar siz ushbu uchta usulni o'zlashtirishni xohlasangiz, quyidagi bosqichlarni bajaring.

Qadam

3 -usul 1: Faktoring tenglamalari

Qadam 1. Barcha teng o'zgaruvchilarni birlashtiring va ularni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing

Tenglamani faktoring qilishning birinchi qadami barcha teng o'zgaruvchilarni x bilan tenglamaning bir tomoniga o'tkazishdir²ijobiy hisoblanadi. O'zgaruvchilarni birlashtirish uchun barcha x o'zgaruvchilarni qo'shing yoki olib tashlang², x va doimiylar (tamsayılar), ularni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazing, shunda boshqa tomondan hech narsa qolmaydi. Boshqa tomonda qolgan o'zgaruvchilar bo'lmasa, tenglik belgisining yoniga 0 yozing. Buni qanday qilish kerak:

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

2 -qadam. Bu tenglamani aniqlang

Bu tenglamani aniqlash uchun x omilini ishlatish kerak² (3) va doimiy omil (-4), ularni ko'paytirib, o'rtadagi o'zgaruvchiga mos keladigan qilib qo'shish, (-11). Buni qanday qilish kerak:

• 3x² faqat bitta mumkin bo'lgan omil- 3x va x, siz ularni qavs ichida yozishingiz mumkin: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
• Keyin -11x hosil qiladigan mahsulotni topish uchun 4 -sonli omilni yo'q qilish jarayonidan foydalaning. Siz 4 va 1, yoki 2 va 2 mahsulotlarini ishlatishingiz mumkin, chunki ikkalasini ham ko'paytirganda siz 4 ga ega bo'lasiz. Ammo shuni unutmangki, raqamlardan biri manfiy bo'lishi kerak, chunki natija -4.
• (3x + 1) (x - 4) ni sinab ko'ring. Agar siz uni ko'paytirsangiz, natija 3x bo'ladi² -12x +x -4. Agar siz -12 x va x o'zgaruvchilarni birlashtirsangiz, natija -11x bo'ladi, bu sizning o'rtacha qiymatingiz. Siz faqat kvadratik tenglamani yaratdingiz.
• Masalan, boshqa mahsulotni faktoring qilib ko'raylik: (3x -2) (x +2) = 3x² +6x -2x -4. Agar siz o'zgaruvchilarni birlashtirsangiz, natija 3x bo'ladi² -4x -4. -2 va 2 faktorlari ko'paytirilganda -4 bo'lsa ham, o'rtacha bir xil emas, chunki siz -4x o'rniga -11x qiymatini olishni xohlaysiz.

3 -qadam. Har bir qavs boshqa tenglamada nolga teng deb faraz qiling

Bu sizning tenglamangizni nolga aylantiradigan 2 ta qiymatni topishga imkon beradi. Siz o'z tenglamangizni aniqladingiz, shuning uchun siz har bir qavs ichidagi hisobni nolga teng deb hisoblashingiz kerak. Shunday qilib, 3x + 1 = 0 va x - 4 = 0 yozishingiz mumkin.

4 -qadam. Har bir tenglamani alohida hal qiling

Kvadrat tenglamada x uchun 2 ta qiymat mavjud. O'zgaruvchilarni siljitish va x uchun 2 ta javob yozish orqali har bir tenglamani alohida hal qiling:

• 3x + 1 = 0 ni yeching

  • 3x = -1….. ayirish orqali
  • 3x/3 = -1/3 ….. bo'lish orqali
  • x = -1/3 ….. soddalashtirish orqali

• X - 4 = 0 ni eching

  x = 4 ….. ayirish orqali

• x = (-1/3, 4)….. bir nechta mumkin bo'lgan javoblarni ajratib, ya'ni x = -1/3 yoki x = 4 ikkalasi to'g'ri bo'lishi mumkin.

5 -qadam. (3x + 1) (x -4) = 0 dagi x = -1/3 ni tekshiring:

Shunday qilib, biz (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. (0) (-4 1/3) = 0….. ni soddalashtirib, Bas, 0 = 0….. Ha, x = -1/3 to'g'ri.

6 -qadam. (3x + 1) (x - 4) = 0 dagi x = 4 ni tekshiring:

Shunday qilib, biz (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ….. (13) (4 - 4) o'rniga =? 0….. (13) (0) = 0….. ni soddalashtirib, Bas, 0 = 0….. Ha, x = 4 ham to'g'ri.

Shunday qilib, alohida tekshirilgandan so'ng, ikkala javob ham to'g'ri va tenglamalarda ishlatilishi mumkin

3 ning 2 -usuli: Kvadrat formuladan foydalanish

Qadam 1. Hamma teng o'zgaruvchilarni birlashtiring va ularni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing

Barcha o'zgaruvchilarni x o'zgaruvchining qiymati bilan tenglamaning bir tomoniga o'tkazing² ijobiy. O'zgaruvchilarni ketma -ket eksponentlar bilan yozing, shunda x bo'ladi² birinchi bo'lib yoziladi, keyin o'zgaruvchilar va doimiylar yoziladi. Buni qanday qilish kerak:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

2 -qadam. Kvadrat formulani yozing

Kvadratik formula: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

3 -qadam. Kvadrat tenglamadan a, b va c qiymatlarini aniqlang

A o'zgaruvchisi - x koeffitsienti², b - x o'zgaruvchining koeffitsienti, v - doimiy. 3x tenglama uchun² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 va c = -8. Uchtasini ham yozing.

4 -qadam. Tenglamadagi a, b va c qiymatlarini almashtiring

Uch o'zgaruvchining qiymatini bilganingizdan so'ng, ularni quyidagi tenglamaga ulang:

• {-b +/- √ (b² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

5 -qadam. Hisob -kitoblarni bajaring

Raqamlarni kiritganingizdan so'ng, ijobiy yoki salbiy belgini soddalashtirish, qolgan o'zgaruvchilarni ko'paytirish yoki kvadratlashtirish uchun matematikadan foydalaning. Buni qanday qilish kerak:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

Qadam 6. Kvadrat ildizni soddalashtiring

Agar kvadrat ildiz ostidagi raqam mukammal kvadrat bo'lsa, siz butun sonni olasiz. Agar raqam mukammal kvadrat bo'lmasa, uning oddiy ildiz shaklini soddalashtiring. Agar raqam manfiy bo'lsa va siz manfiy bo'lishi kerak deb hisoblasangiz, ildiz qiymati murakkablashadi. Bu misolda, (121) = 11. Siz x = (5 +/- 11)/6 ni yozishingiz mumkin.

7 -qadam. Ijobiy va salbiy javoblarni qidiring

Kvadrat ildiz belgisini olib tashlaganingizdan so'ng, x uchun ijobiy va salbiy natijani topishingiz mumkin. Endi sizda (5 +/- 11)/6 bo'lsa, siz ikkita javob yozishingiz mumkin:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

8 -qadam. Ijobiy va salbiy javoblarni to'ldiring

Matematik hisob -kitoblarni bajaring:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

Qadam 9. Soddalashtiring

Har bir javobni soddalashtirish uchun ikkala sonni ham bo'ladigan eng katta songa bo'ling. Birinchi kasrni 2 ga, ikkinchisini 6 ga bo'ling va siz x ning qiymatini topdingiz.

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

3 -dan 3 -usul: Kvadratni to'ldiring

Qadam 1. Barcha o'zgaruvchilarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazing

A yoki x o'zgaruvchiga ishonch hosil qiling² ijobiy. Buni qanday qilish kerak:

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  Bu tenglamada a o'zgaruvchi 2, b o'zgaruvchi -12, c o'zgaruvchi -9

2 -qadam. O'zgaruvchini yoki doimiy c ni boshqa tomonga o'tkazing

Turg'unlar - bu o'zgaruvchisiz raqamli atamalar. Tenglamaning o'ng tomoniga o'ting:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

3 -qadam. Har ikki tomonni a koeffitsienti yoki x o'zgaruvchiga bo'linadi².

Agar x² o'zgaruvchiga ega emas va koeffitsient 1 ga teng, siz bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin. Bunday holda, siz barcha o'zgaruvchilarni 2 ga bo'lishingiz kerak, masalan:

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x² - 6x = 9/2

4 -qadam. B ni 2 ga bo'linib, uni to'rtburchak qilib oling va natijani har ikki tomonga qo'shing

Bu misolda b qiymati -6 ga teng. Buni qanday qilish kerak:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6x + 9 = 9/2 + 9

Qadam 5. Ikkala tomonni ham soddalashtiring

Chap tarafdagi o'zgaruvchini (x-3) (x-3) yoki (x-3) ga aylantiring.². 9/2 + 9 yoki 9/2 + 18/2 ni olish uchun qiymatlarni o'ngga qo'shing, bu 27/2.

Qadam 6. Ikkala tomonning kvadrat ildizini toping

Kvadrat ildiz (x-3)² (x-3) dir. Siz 27/2 kvadrat ildizini ± √ (27/2) deb yozishingiz mumkin. Shunday qilib, x - 3 = ± √ (27/2).

Qadam 7. Ildizlarni soddalashtiring va x qiymatini toping

± √ (27/2) ni soddalashtirish uchun 27 va 2 raqamlari orasidagi mukammal kvadratni yoki shu sonni ko'paytirishni toping. 9 -ning mukammal kvadratini 27 -da topish mumkin, chunki 9 x 3 = 27. Kvadrat ildizdan 9 -ni olib tashlash uchun, ildizdan 9 -ni chiqarib, kvadrat ildizidan tashqarida 3 -ni, kvadrat ildizini yozing. Qolgan 3 ni kvadrat ildiz ostidagi kasrning bo'linmasida qoldiring, chunki 27 barcha omillarni ishlamaydi va pastda 2 ni yozing. Keyin, tenglamaning chap tomonidagi doimiy 3 ni o'ngga siljiting va x uchun ikkita echimni yozing:

• x = 3 +(p6)/2
• x = 3 - (p6)/2)

Maslahatlar

• Ko'rib turganingizdek, ildiz izlari to'liq yo'qolmaydi. Shunday qilib, hisoblagich o'zgaruvchilar birlashtirilmaydi (chunki ular teng emas). Buni ijobiy yoki salbiy deb ajratishning ma'nosi yo'q. Biroq, biz uni xuddi shu omilga bo'lishimiz mumkin, lekin FAQAT agar omillar har ikkala sobit uchun bir xil bo'lsa VA ildiz koeffitsienti.
• Agar kvadrat ildizi ostidagi raqam mukammal kvadrat bo'lmasa, oxirgi qadam bir oz boshqacha. Mana bir misol:
• Agar b juft raqam bo'lsa, formula quyidagicha bo'ladi: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.