Kvadrat ildizlarni qo'lda qanday hisoblash mumkin (rasmlar bilan)

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Kalkulyatorlar paydo bo'lgunga qadar talabalar va professorlar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblashlari kerak edi. Ushbu murakkab jarayonni engish uchun turli xil usullar ishlab chiqilgan. Ba'zi usullar taxminiy baho beradi, boshqalari aniq qiymat beradi. Oddiy amallar yordamida sonning kvadrat ildizini qanday topishni bilish uchun, boshlash uchun quyidagi 1 -qadamga qarang.

Qadam

2 -usul 1: Prime Factorization -dan foydalanish

Qadam 1. Raqamingizni mukammal kvadrat omillarga ajrating

Bu usul sonning kvadrat ildizini topish uchun raqam omillaridan foydalanadi (soniga qarab, javob aniq son yoki yaqin taxmin bo'lishi mumkin). Raqam omillari - bu ko'paytirilganda, bu sonni chiqaradigan boshqa sonlar to'plami. Masalan, siz 8 ning omillari 2 va 4 deb ayta olasiz, chunki 2 × 4 = 8. Shu bilan birga, mukammal kvadratlar boshqa butun sonlarning hosilasi bo'lgan butun sonlardir. Masalan, 25, 36 va 49 - mukammal kvadratlar, chunki ular mos ravishda 5 ga teng², 6²va 7². Siz taxmin qilganingizdek, mukammal kvadrat omillar ham mukammal kvadratlar bo'lgan omillardir. Kvadrat ildizni asosiy faktorizatsiya orqali topishni boshlash uchun avval raqamingizni mukammal kvadrat omillarga soddalashtirishga harakat qiling.

• Misol keltiraylik. Biz 400 ning kvadrat ildizini qo'lda topmoqchimiz. Boshlash uchun biz raqamni mukammal kvadrat omillarga ajratamiz. 400 100 ga ko'plik bo'lgani uchun, biz bilamizki, 400 25 ga bo'linadi - mukammal kvadrat. Soyalarning tez bo'linishi bilan biz 400 ning 25 ga bo'linishini 16 ga tengligini topamiz. Tasodifan 16 ham mukammal kvadrat. Shunday qilib, 400 ning mukammal kvadrat omillari 25 va 16 chunki 25 × 16 = 400.
• Biz buni quyidagicha yozishimiz mumkin: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Qadam 2. Sizning mukammal kvadrat omillaringizning kvadrat ildizini toping

Kvadrat ildizning ko'paytirish xususiyati har qanday a va b sonlar uchun Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) ekanligini bildiradi. Bu xususiyat tufayli, endi biz mukammal kvadrat omillarimizning kvadrat ildizini topamiz va javobimizni olish uchun ularni ko'paytira olamiz.

• Bizning misolimizda 25 va 16 kvadrat ildizlarini topamiz. Quyida qarang:

  • Ildiz (25 × 16)
  • Ildiz (25) × Ildiz (16)

  • 5 × 4 =

    20 -qadam.

3 -qadam. Agar sizning raqamingizni aniq hisobga olishning iloji bo'lmasa, javobingizni eng oddiy shaklga soddalashtiring

Haqiqiy hayotda, tez -tez siz kvadrat ildizni topishingiz kerak bo'lgan raqamlar, yaxlit butun sonlar emas, balki 400 kabi aniq mukammal kvadrat omillarga ega. Bunday hollarda, biz to'g'ri javobni topa olmasligimiz mumkin. Butun son sifatida. Ammo, topa oladigan bo'lsak, mukammal kvadrat omillarni topib, siz javobni kvadrat ildiz shaklida topishingiz mumkin, bu kichikroq, sodda va hisoblash osonroq. Buning uchun raqamingizni mukammal kvadrat omillar va nomukammal kvadrat omillar kombinatsiyasiga kamaytiring, so'ngra soddalashtiring.

• Misol tariqasida 147 -ning kvadrat ildizidan foydalanaylik. 147 ikkita mukammal kvadratning hosilasi emas, shuning uchun biz yuqoridagi kabi to'liq sonni aniqlay olmaymiz. Biroq, 147 - bitta mukammal kvadrat va boshqa raqamning hosilasi - 49 va 3. Biz bu ma'lumotdan foydalanib, javobimizni eng sodda shaklda yozishimiz mumkin:

  • Ildiz (147)
  • = Ildiz (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × Ildiz (3)

Qadam 4. Agar kerak bo'lsa, taxmin qiling

Kvadrat ildizingiz eng oddiy shaklda bo'lsa, qolgan kvadrat ildizning qiymatini taxmin qilish va uni ko'paytirish orqali, odatda, javoblar sonini taxminiy baholash oson bo'ladi. Sizning taxminlaringizni aniqlashning bir usuli - sizning kvadrat ildizingiz sonidan kattaroq va undan kam bo'lgan mukammal kvadratlarni qidirish. Kvadrat ildizingizdagi sonning kasrli qiymati ikki raqam o'rtasida ekanligini sezasiz, shuning uchun siz ikkita raqam orasidagi qiymatni taxmin qilishingiz mumkin.

• Bizning misolimizga qaytaylik. chunki 2² = 4 va 1² = 1, biz bilamizki, Root (3) 1 dan 2 gacha - ehtimol, 1 dan 2 ga yaqin. Biz 1, 7 ni baholaymiz. 7 × 1, 7 = 11, 9. Agar biz javobimizni kalkulyatorda tekshirsak, bizning javobimiz haqiqiy javobga juda yaqin ekanligini ko'rishimiz mumkin 12, 13.

  Bu katta raqamlarga ham tegishli. Masalan, Root (35) ni 5 dan 6 gacha (ehtimol 6 ga yaqin) taxmin qilish mumkin. 5² = 25 va 6² = 36. 35 - 25 dan 36 gacha, shuning uchun kvadrat ildiz 5 dan 6 gacha bo'lishi kerak. 35 ning 36 dan bitta kichikligi, ishonch bilan aytishimiz mumkinki, kvadrat ildiz 6 dan kichik. Kalkulyator yordamida tekshirish bizga javob bering, taxminan 5, 92 - biz haqmiz.

5 -qadam. Shu bilan bir qatorda, birinchi qadam sifatida raqamingizni eng kam uchraydigan omillarga kamaytiring

Agar siz sonning asosiy omillarini osongina aniqlashingiz mumkin bo'lsa, mukammal kvadratlar omillarini topishingiz shart emas. Raqamingizni eng kam uchraydigan omillar nuqtai nazaridan yozing. Keyin, sizning omillaringizga mos keladigan asosiy sonlar juftlarini toping. Bir xil ikkita asosiy omilni topganingizda, bu ikkita sonni kvadrat ildizdan olib tashlang va ulardan birini kvadrat ildizdan tashqariga qo'ying.

• Masalan, bu usul yordamida 45 ning kvadrat ildizini toping. Biz bilamizki, 45 × 5 va 9 = 3 × 3 ostida. Shunday qilib, biz kvadrat ildizimizni quyidagi omillar bo'yicha yozishimiz mumkin: Sqrt (3 × 3 × 5). Kvadrat ildizni eng sodda qilib soddalashtirish uchun ikkala 3 -ni ham olib tashlang va bitta 3 -ni kvadrat ildiz tashqarisiga qo'ying: (3) Ildiz (5).

  Bu erdan bizni taxmin qilish oson bo'ladi.

• Masalaning oxirgi misoli sifatida 88 ning kvadrat ildizini topishga harakat qilaylik:

  • Ildiz (88)
  • = Ildiz (2 × 44)
  • = Ildiz (2 × 4 × 11)
  • = Ildiz (2 × 2 × 2 × 11). Bizning kvadrat ildizimizda ikkitadan bor. 2 asosiy raqam bo'lgani uchun, biz 2 sonli juftlikni olib tashlashimiz va ulardan birini kvadrat ildiz tashqarisiga qo'yishimiz mumkin.

  • = Bizning kvadrat ildizimiz eng oddiy shaklda (2) Sqrt (2 × 11) yoki (2) Ildiz (2) Ildiz (11).

    Bu erdan biz Sqrt (2) va Sqrt (11) ni taxmin qilishimiz va taxminiy javobni xohlaganimizcha topishimiz mumkin.

2 -usul 2: Kvadrat ildizni qo'lda topish

Uzoq bo'linish algoritmidan foydalanish

Qadam 1. Raqamingizning raqamlarini juftlarga ajrating

Bu usulda aniq kvadrat ildizni raqam bo'yicha topish uchun uzun bo'linishga o'xshash jarayon qo'llaniladi. Bu majburiy bo'lmasa-da, agar siz o'zingizning ish joyingizni va raqamlaringizni vizual tarzda ishlanadigan qismlarga ajratib qo'ysangiz, bu jarayonni amalga oshirish osonroq bo'lishi mumkin. Birinchidan, ish joyini ikki qismga bo'linadigan vertikal chiziqni, so'ngra o'ng qismini kichikroq yuqori qismga va pastki qismining kattaroq qismiga ajratish uchun yuqori o'ng tomonga qisqaroq gorizontal chiziqni torting. Keyin, o'nlik kasrdan boshlab raqamlaringizni juftlarga ajrating. Masalan, bu qoidaga amal qilib, 79,520,789,182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" ga aylanadi. O'z raqamingizni chap yuqori qismga yozing.

Masalan, 780, 14 kvadrat ildizlarini hisoblab ko'rishga harakat qilaylik, ish joyingizni yuqoridagi kabi ajratish uchun ikkita chiziq chizamiz va yuqori chapga "7 80. 14" yozamiz. Eng chap raqam bitta raqam emasmi, farqi yo'q. Siz o'z javobingizni (kvadrat ildiz 780, 14) o'ng yuqori burchakka yozasiz

2 -qadam. Kvadrat qiymati chapdagi sondan (yoki juft juftlikdan) kichik yoki unga teng bo'lgan eng katta butun sonni toping

Raqamingizning chap chetidan, ham raqamli juftlarni, ham bitta raqamlarni boshlang. Bu raqamdan kichik yoki unga teng bo'lgan eng katta mukammal kvadratni toping, so'ngra bu mukammal kvadratning ildizini toping. Bu raqam n. Yuqori o'ngga n ni yozing va pastki o'ng kvadrantga n kvadratini yozing.

Bizning misolimizda, eng chapda - 7 raqami. Chunki biz buni 2 bilamiz² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, biz n = 2 deb ayta olamiz, chunki 2 - eng katta tamsayı, uning kvadrat qiymati 7 dan kichik yoki unga teng. Bu bizning javobimizning birinchi raqami. Pastki o'ng chorakka 4 (kvadrat qiymati 2) yozing. Bu raqam keyingi qadam uchun muhim.

Qadam 3. Siz hisoblagan sonni eng chap juftlikdan chiqarib oling

Uzoq bo'linishda bo'lgani kabi, keyingi qadam - biz tahlil qilgan qismdan biz topgan kvadratning qiymatini olib tashlash. Birinchi raqam ostiga bu raqamni yozing va uning ostiga javobingizni yozing.

• Bizning misolimizda biz 7 dan 4 gacha yozamiz, keyin uni olib tashlaymiz. Bu ayirish javob beradi

  3 -qadam..

Qadam 4. Keyingi juftlikni tashlab yuboring

Siz topgan ayirish qiymatining yonida kvadrat ildizni qidirayotgan raqamning keyingi qismini pastga siljiting. Keyin o'ng yuqori chorakdagi sonni ikkiga ko'paytiring va javobni o'ng pastki chorakka yozing. Siz yozgan raqamning yonida, "_ × _ =" 'yozib, keyingi bosqichda ko'paytirish muammosiga bo'sh joy qoldiring.

Bizning misolimizda keyingi raqamlarimiz juftligi "80". Chap kvadrantda 3 ning yoniga "80" yozing. Keyin o'ng yuqori burchakdagi raqamni ikkiga ko'paytiring. Bu raqam 2, shuning uchun 2 × 2 = 4. Pastki o'ngdagi to'rtburchakda "'4" yozing, so'ngra _×_=.

Qadam 5. O'ng kvadrantdagi bo'sh joylarni to'ldiring

Siz o'ng kvadrantda yozgan barcha bo'sh joylarni bir xil raqam bilan to'ldirishingiz kerak. Bu butun son o'ng chorakdagi mahsulotni chapdagi raqamdan kam yoki unga tenglashtiradigan eng katta tamsayı bo'lishi kerak.

Bizning misolimizda biz bo'sh joylarni 8 bilan to'ldiramiz, natijada 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 bo'ladi. Bu qiymat 384 dan katta. Shunday qilib, 8 juda katta, lekin 7 ta ishlashi mumkin. Bo'sh joylarga 7 ni yozing va eching: 4 (7) × 7 = 329. 7 - to'g'ri raqam, chunki 329 380 dan kichik. 7 ni o'ng yuqori chorakka yozing. Bu 780, 14 kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam

Qadam 6. Hozir hisoblangan sonni chapdagi raqamdan chiqarib oling

Uzoq bo'linish usuli yordamida ayirish zanjiri bilan davom eting. Muammoning mahsulotini o'ng to'rtburchakda oling va javoblaringizni quyida yozib, chapdagi raqamdan chiqarib oling.

Bizning misolimizda 380 dan 329 ni olib tashlaymiz, bu natija beradi 51.

7 -qadam. 4 -qadamni takrorlang

Kvadrat ildizni qidirayotgan sonning keyingi qismini chiqaring. Raqamingizdagi kasrli nuqtaga yetganingizda, javobingizga o'nlik kasrni o'ng yuqori chorakka yozing. Keyin, yuqori o'ngdagi sonni 2 ga ko'paytiring va yuqoridagi kabi bo'sh ko'paytirish muammosining yoniga ("_ × _") yozing.

Bizning misolimizda, biz hozirda 780, 14 -sonli kasrli nuqtalar bilan ishlayotganimiz uchun, joriy javobimizdan keyin yuqori o'ngdagi kasrni yozing. Keyin, chap chorakdagi keyingi juftlikni (14) pastga tushiring. Ikki marta yuqori o'ngdagi (27) raqam 54 ga teng, shuning uchun pastki o'ng burchakda "54 _ × _ =" deb yozing

Qadam 8. 5 va 6 -bosqichlarni takrorlang

O'ngdagi bo'sh joylarni to'ldirish uchun eng katta raqamni toping, bu javob hozirda chapda bo'lgan raqamdan kam yoki unga teng. Keyin, muammoni hal qiling.

Bizning misolimizda 549 × 9 = 4941, bu chapdagi (5114) raqamdan kam yoki unga teng. 549 × 10 = 5490 juda katta, shuning uchun 9 sizning javobingiz. O'ng yuqori kvadrantdagi keyingi raqam sifatida 9 ni yozing va mahsulotni chapdagi raqamdan chiqarib oling: 5114 minus 4941 173 ga teng

Qadam 9. Raqamlarni sanashni davom ettirish uchun chapdagi nol juftini pastga tushiring va 4, 5 va 6 -bosqichlarni takrorlang

Aniqroq bo'lish uchun, bu jarayonni davom ettirib, javobingizda yuzlab, minglab va boshqa joylarni toping. Siz xohlagan kasrni topmaguningizcha ushbu tsikldan foydalanishni davom ettiring.

Jarayonni tushunish

Qadam 1. Kvadratning S maydonini kvadrat ildizini hisoblagan raqamingizni tasavvur qiling

Kvadratning maydoni P bo'lgani uchun² bu erda P - bu tomonlardan birining uzunligi, keyin sizning raqamingizning kvadrat ildizini topishga harakat qilib, siz kvadratning o'sha tomonining P uzunligini hisoblab chiqishga harakat qilyapsiz.

2 -qadam. Javobingizning har bir raqami uchun harf o'zgaruvchilarini aniqlang

A o'zgaruvchini P ning birinchi raqami sifatida belgilang (biz hisoblashga harakat qilayotgan kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam, C uchinchi raqam va boshqalar bo'ladi.

Qadam 3. Sizning boshlang'ich raqamingizning har bir qismi uchun harf o'zgaruvchilarini aniqlang

S o'zgaruvchisini o'rnating_a S raqamidagi birinchi juftlik uchun (sizning dastlabki qiymatingiz), S_b ikkinchi juft raqamlar uchun va boshqalar.

Qadam 4. Bu usul va uzun bo'linish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuning

Kvadrat ildizni topishning bu usuli, asosan, sizning boshlang'ich raqamingizni kvadrat ildizga bo'ladigan va sizga javobning kvadrat ildizini beradigan uzun bo'linish muammosi. Xuddi uzoq bo'linish muammosida bo'lgani kabi, sizni har bir qadamda faqat keyingi raqam qiziqtiradi. Shunday qilib, siz faqat har bir qadamda keyingi ikkita raqam bilan qiziqasiz (bu kvadrat ildiz uchun har bir qadamda keyingi raqam).

5 -qadam. Kvadrat qiymati S dan kichik yoki unga teng bo'lgan eng katta sonni toping_a.

Javobimizdagi A ning birinchi raqami kvadrat qiymati S dan oshmagan eng katta tamsayıdir_a (ya'ni A shunday A² Sa <(A+1) ²). Bizning misolimizda, S._a = 7 va 2² 7 <3², shuning uchun A = 2.

E'tibor bering, masalan, agar siz uzun bo'linish yordamida 88962 ni 7 ga bo'lishni xohlasangiz, birinchi qadamlar deyarli bir xil bo'ladi: siz 88962 ning birinchi raqamini ko'rasiz (bu 8) va siz eng katta raqamni qidiryapsiz. 7 ga ko'paytirilganda, 8 dan kichik yoki tengdir. Siz d ni qidiryapsiz, shuning uchun 7 × d 8 <7 × (d+1). Bunday holda, d 1 ga teng bo'ladi

Qadam 6. Siz maydon ustida ish boshlamoqchi bo'lgan kvadratning qiymatini tasavvur qiling

Sizning javobingiz, boshlang'ich raqamingizning kvadrat ildizi, P maydonining uzunligini tasvirlaydigan P (sizning boshlang'ich raqamingiz). A, B, C baholaringiz P qiymatidagi raqamlarni ifodalaydi. Buni aytishning yana bir usuli-10A + B = P (ikki xonali javob uchun), 100A + 10B + C = P (uchtasi uchun. raqamli javob) va boshqalar.

Bizning misolimizda, (10A+B) ² = P.² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Esda tutingki, 10A+B bizning javobimizni ifodalaydi, P, B bir pozitsiyada va A o'nlik pozitsiyasida. Masalan, A = 1 va B = 2 bilan 10A+B 12 ga teng. (10A+B) ² esa maydonning umumiy maydonidir 100A² bu uning eng katta maydonining maydoni, B² undagi eng kichik kvadratning maydoni va 10A × B qolgan qolgan to'rtburchaklar maydoni. Uzoq va murakkab jarayonni bajarib, biz kvadrat va to'rtburchaklar maydonlarini qo'shib, kvadratning umumiy maydonini topamiz.

7 -qadam. S dan A² ni olib tashlang_a.

Bir juft raqamni kamaytiring (S._b) ning qiymati S.ning qiymati_a S_b kvadratning umumiy maydoniga yaqin, siz shunchaki katta ichki kvadratni ayirgansiz. Qolganini 4 -bosqichda olgan N1 raqami deb hisoblash mumkin (bizning misolimizda N1 = 380). N1 2 va marta teng: 10A × B + B² (ikkita to'rtburchaklar maydoni va kichikroq kvadrat maydoni).

8 -qadam. N1 = 2 × 10A × B + B² ni toping, u ham N1 = (2 × 10A + B) × B deb yoziladi

Bizning misolimizda siz allaqachon N1 (380) va A (2) ni bilasiz, shuning uchun siz B ni topishingiz kerak, ehtimol bu butun son emas, shuning uchun siz haqiqatan ham eng katta B sonini topishingiz kerak (2 × 10A +) B) × B N1. Shunday qilib, sizda: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

9 -qadam. Tugatish

Bu tenglamani echish uchun A ni 2 ga ko'paytiring, natijani o'nlik holatiga o'tkazing (10 ga ko'paytirish ekvivalenti), B ni bir joyga qo'ying va sonni B ga ko'paytiring. Boshqacha aytganda (2 × 10A +) B) × B. 4 -qadamda o'ng pastki chorakka "N_ × _ =" (N = 2 × A bilan) yozganingizda aynan shunday qilasiz. 5 -qadamda sizga mos keladigan eng katta B butun sonini topasiz. uning ostidagi raqam (2 × 10A + B) × B N1.

10 -qadam. Umumiy maydondan (2 × 10A + B) × B maydonni chiqaring

Bu ayirish natijasida hisoblanmagan S- (10A+B) ² maydon paydo bo'ladi (va keyingi raqamni xuddi shu tarzda hisoblash uchun ishlatiladi).

Qadam 11. Keyingi C raqamini hisoblash uchun jarayonni takrorlang

Keyingi juftlikni pastga tushiring (S._v) ning chap tomonidagi N2 ni oling va eng katta C ni toping (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ikki xonali "AB" raqamini ikki marta yozishga teng) "_ × _ =". Bo'sh joylardagi eng katta mos keladigan raqamni toping, u oldingi kabi N2 dan kichik yoki unga teng javob beradi.

Maslahatlar

• O'nli kasrni sonning ikki raqamiga (100 ga ko'paytmaga) ko'chirish, kasrli ildizda bitta raqamga ko'paytirish (10 ga ko'plik), kasr nuqtasini siljitish demakdir.
• Bu misolda 1.73 ni "qoldiq" deb hisoblash mumkin: 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
• Bu usul har qanday asos uchun ishlatilishi mumkin, faqat 10 -tayanch (o'nlik) emas.
• Siz uchun qulay bo'lgan hisob -kitoblardan foydalanishingiz mumkin. Ba'zi odamlar natijani boshlang'ich raqamning ustiga yozadilar.
• Takroriy kasrlarni ishlatishning muqobil usuli bu formulaga amal qilishdir: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Masalan, 780, 14 kvadrat ildizlarini hisoblash uchun, kvadrat qiymati 780, 14 ga yaqin bo'lgan butun son 28 ga teng, shuning uchun z = 780, 14, x = 28 va y = -3, 86. Qiymatlarni kiritish va hisob -kitoblarni faqat x + y/(2x) uchun hisoblash (eng sodda qilib aytganda) 78207/20800 yoki taxminan 27, 931 (1); keyingi davr, 4374188/156607 yoki taxminan 27, 930986 (5). Har bir atama oldingi o'nlik kasr sonining to'g'riligiga taxminan 3 ta kasrni qo'shadi.

Ogohlantirish

O'nli kasrdan boshlab raqamlarni juftlarga ajratishni unutmang. 79,520,789,182, 47897 raqamlari "79 52 07 89 18" ga bo'linadi 2, 4 78 97 "keraksiz raqamni qaytaradi.