Kubik tenglamalarni yechishning 3 usuli

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-16 20:05

Siz birinchi marta kubik tenglamani topganingizda (u bolta shaklida) ³ + bx ² + cx + d = 0), ehtimol siz muammoni hal qilish qiyin bo'ladi deb o'ylaysiz. Bilingki, kubik tenglamalarni echish aslida asrlar davomida mavjud bo'lgan! 1500 -yillarda italiyalik matematiklar Niccolo Tartaglia va Gerolamo Cardano tomonidan kashf etilgan bu yechim qadimgi Yunoniston va Rimda ma'lum bo'lgan birinchi formulalardan biridir. Kubik tenglamalarni yechish biroz qiyin bo'lishi mumkin, lekin to'g'ri yondashuv (va etarli bilim) bilan hatto eng qiyin kubik tenglamalarni ham hal qilish mumkin.

Qadam

3 -usul 1: Kvadrat tenglamalar yordamida echish

Qadam 1. Sizning kubik tenglamangiz sobitligini tekshiring

Yuqorida aytilganidek, kubik tenglamaning shakli bolta ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, va d ning qiymati bu kubik tenglamaning shakliga ta'sir qilmasdan 0 bo'lishi mumkin; bu, asosan, kubik tenglama har doim bx qiymatini o'z ichiga olmaydi ², cx yoki d kubik tenglama bo'lishi kerak. Kubik tenglamalarni echishning bu juda oson usulini qo'llashni boshlash uchun, kubik tenglamangiz doimiy (yoki d) qiymatiga ega ekanligini tekshiring. Agar sizning tenglamangiz d uchun doimiy yoki qiymatga ega bo'lmasa, siz bir necha qadamdan keyin kubik tenglamaga javob topish uchun kvadrat tenglamadan foydalanishingiz mumkin.

Boshqa tomondan, agar sizning tenglamangiz doimiy qiymatga ega bo'lsa, unda sizga boshqa yechim kerak bo'ladi. Boshqa yondashuvlar uchun quyidagi bosqichlarni ko'ring

2 -qadam. X qiymatini kubik tenglamadan ajrating

Sizning tenglamangiz doimiy qiymatga ega emasligi sababli, undagi barcha komponentlar x o'zgaruvchiga ega. Bu shuni anglatadiki, x ning bu qiymatini soddalashtirish uchun tenglamadan ajratish mumkin. Bu qadamni bajaring va kubik tenglamangizni x (ax) shaklida qayta yozing ² + bx + c).

Misol uchun, aytaylik, bu erda asl kubik tenglama 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Bu tenglamadan bitta x o'zgaruvchini faktorlash orqali biz tenglamani olamiz x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

3 -qadam. Qavs ichidagi tenglamalarni echish uchun kvadrat tenglamalardan foydalaning

Qavs ichida yozilgan ba'zi yangi tenglamalaringiz kvadrat tenglama (bolta) shaklida ekanligini payqashingiz mumkin. ² + bx + c). Bu shuni anglatadiki, biz a, b va c kvadrat tenglama formulasiga ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Kubik tenglamangizga ikkita javob topish uchun ushbu hisoblarni bajaring.

• Bizning misolimizda a, b va c (mos ravishda 3, -2 va 14) qiymatlarini kvadrat tenglamaga quyidagicha ulang:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Javob 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Javob 2:

  {2 - 12.8 i}/6

4 -qadam. Nol va kvadrat tenglamangizga berilgan javobni kubik tenglamangizga javob sifatida ishlating

Kvadrat tenglamalarda ikkita javob bo'ladi, kubik tenglamalarda esa uchta javob bo'ladi. Siz allaqachon uchta javobdan ikkitasini bilasiz; siz qavs ichida tenglamaning "kvadrat" qismidan olasiz. Agar sizning kubik tenglamangizni "faktorizatsiya" orqali hal qilish mumkin bo'lsa, sizning uchinchi javobingiz deyarli har doim bo'ladi 0. Xavfsiz! Siz faqat kubik tenglamani hal qildingiz.

Bu usulning ishlashiga sabab "har qanday sonni nolga ko'paytirish nolga teng" degan asosiy haqiqatdir. Tenglamani x (ax) ga aylantirganda ² + bx + c) = 0, siz uni faqat ikkita "qismga" ajratasiz; bir qismi chap tarafdagi x o'zgaruvchisi, boshqa qismi esa qavs ichida kvadrat tenglama. Agar bu ikki qismdan biri nolga teng bo'lsa, unda butun tenglama ham nol bo'ladi. Shunday qilib, kvadrat tenglamaning qavs ichidagi ikkita javobi, bu uni nolga aylantiradi, kubik tenglamaning javoblari, shuningdek 0ning o'zi - chap tarafdagi qismni ham nolga aylantiradi.

3 usul 2: omillar ro'yxati yordamida butun sonli javoblarni topish

Qadam 1. Sizning kubik tenglamangiz doimiy qiymatga ega ekanligiga ishonch hosil qiling

Yuqorida tavsiflangan usullardan foydalanish juda oson bo'lsa -da, ularni ishlatish uchun yangi hisoblash texnikasini o'rganishning hojati yo'q, ular har doim kubik tenglamalarni yechishda sizga yordam bermaydi. Agar sizning kubik tenglamangiz bolta shaklida bo'lsa ³ + bx ² + cx + d = 0, bu erda d qiymati nolga teng bo'lmasa, yuqoridagi "faktorizatsiya" usuli ishlamaydi, shuning uchun siz buni hal qilish uchun ushbu bo'limdagi usullardan birini ishlatishingiz kerak bo'ladi.

Masalan, bizda 2 x tenglama bor deylik ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Bunday holda, tenglamaning o'ng tomonida nolni olish uchun har ikki tomonga 6 ni qo'shishimiz kerak. Shundan so'ng, biz 2 x yangi tenglamani olamiz ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 qiymatiga ega, shuning uchun biz avvalgi usulda bo'lgani kabi "faktorizatsiya" usulini ishlata olmaymiz.

2 -qadam. A va d omillarini toping

Kubik tenglamangizni hal qilish uchun, a koeffitsientini topishdan boshlang (x koeffitsienti ³) va d (tenglamaning oxiridagi doimiy qiymat). Esda tutingki, omillar - bu ma'lum sonni hosil qilish uchun bir -biriga ko'paytiriladigan raqamlar. Masalan, 6 × 1 va 2 × 3 ni ko'paytirish orqali siz 6 ga ega bo'lishingiz mumkin, chunki 1, 2, 3 va 6 - 6 omil.

• Biz foydalanayotgan misolda a = 2 va d = 6. 2 koeffitsienti 1 va 2. 6 omil bo'lsa 1, 2, 3 va 6.

  

  3 -qadam. A omilini d faktoriga bo'ling

  Keyin, a ning har bir omilini d ning har bir omiliga bo'lish orqali olingan qiymatlarni sanab o'ting. Bu hisoblash odatda ko'p kasrli qiymatlarga va bir nechta butun sonlarga olib keladi. Sizning kubik tenglamangizni hal qilish uchun tamsayı qiymati hisobdan olingan butun sonlardan biridir.

  Tenglamamizda a (1, 2) faktor qiymatini d (1, 2, 3, 6) faktoriga bo'ling va quyidagi natijalarni oling: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 va 2/3. Keyin ro'yxatga salbiy qiymatlarni qo'shing va biz quyidagilarni olamiz: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 va -2/3. Butun son bo'lgan kubik tenglamaning javobi ro'yxatda.

  

  4 -qadam. Javoblaringizni qo'lda tekshirish uchun sintetik bo'linishdan foydalaning

  Agar siz yuqoridagi kabi qiymatlar ro'yxatiga ega bo'lsangiz, har bir sonni qo'lda kiritish orqali kubik tenglamangizga javob beradigan tamsayı qiymatlarini qidirishingiz va qaysi qiymat nolga tengligini topishingiz mumkin. Ammo, agar siz bunga vaqt sarflashni xohlamasangiz, buni tezroq qilishning bir yo'li bor, ya'ni sintetik bo'linish deb nomlangan hisob. Asosan, siz o'zingizning butun soningizni kub tenglamangizdagi a, b, c va d asl koeffitsientlariga bo'lasiz. Agar qoldiq nol bo'lsa, bu qiymat sizning kubik tenglamangizga javoblardan biridir.

  • Sintetik bo'linish murakkab mavzu - qo'shimcha ma'lumot olish uchun quyidagi havolaga qarang. Sintetik bo'linish bilan kubik tenglamangizga javoblardan birini qanday topish mumkinligi haqidagi misol:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Yakuniy natija 0 ga teng bo'lgani uchun, biz bilamizki, bizning kubik tenglamamizga butun sonli javoblar - 1.

  3 -usul 3: Diskriminant yondashuvidan foydalanish

  

  Qadam 1. a, b, c va d tenglamalarni yozing

  Kub tenglamaning javobini shu tarzda topish uchun biz tenglamamizdagi koeffitsientlar bilan ko'p hisob -kitoblar qilamiz. Shu sababli, biron bir qiymatni unutishdan oldin a, b, c va d qiymatlarini yozib qo'yish yaxshidir.

  Masalan, x tenglama uchun ³ - 3 x ² + 3 x -1, uni a = 1, b = -3, c = 3 va d = -1 deb yozing. Shuni unutmangki, x o'zgaruvchining koeffitsienti bo'lmasa, uning qiymati 1 bo'ladi.

  

  2 -qadam. 0 = b ni hisoblang ² - 3 ta konditsioner.

  Kubik tenglamalarga javob topishda diskriminant yondashuv murakkab hisob -kitoblarni talab qiladi, lekin agar siz qadamlarni diqqat bilan bajarsangiz, boshqa yo'llar bilan hal qilish qiyin bo'lgan kubik tenglamalarni yechish uchun juda foydali bo'lishi mumkin. Boshlash uchun biz kerakli qiymatni b formulasiga qo'shib, bizga kerak bo'lgan bir nechta birinchi qiymat bo'lgan 0 qiymatini topamiz. ² - 3 ta konditsioner.

  • Biz foydalanayotgan misolda biz uni quyidagicha hal qilamiz:

    b ² - 3 ak

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  3 -qadam. 1 = 2 b ni hisoblang ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Bizga kerak bo'lgan keyingi muhim qiymat, 1, uzoqroq hisoblashni talab qiladi, lekin uni 0 ga o'xshash tarzda topish mumkin. Tegishli qiymatni formulaga ulang 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d qiymatini olish uchun 1.

  • Bu misolda biz uni quyidagicha hal qilamiz:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Qadam 4. Hisoblang = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Keyinchalik, 0 va 1 qiymatlarining "diskriminant" qiymatini hisoblaymiz. Diskriminant - bu polinomning ildizi haqida ma'lumot beradigan raqam (siz ongsiz ravishda kvadratik diskriminant formulasini yodlagan bo'lishingiz mumkin: b ² - 4 ta konditsioner). Agar kubik tenglama bo'lsa, agar diskriminantning qiymati ijobiy bo'lsa, unda tenglamaning uchta haqiqiy sonli javoblari bor. Agar diskriminant qiymati nolga teng bo'lsa, unda tenglama bitta yoki ikkita haqiqiy sonli javobga ega va ba'zi javoblar bir xil qiymatga ega. Agar qiymat manfiy bo'lsa, unda tenglamaning faqat bitta haqiqiy sonli javobi bor, chunki tenglama grafigi har doim x o'qini hech bo'lmaganda bir marta kesib o'tadi.)

  • Bu misolda, ham 0, ham 1 = 0 bo'lgani uchun, qiymatini topish juda oson. Biz uni faqat quyidagicha hisoblashimiz kerak:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, shuning uchun bizning tenglamamizda 1 yoki 2 ta javob bor.

  

  5 -qadam. C = ni hisoblang ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Biz olishimiz kerak bo'lgan oxirgi qiymat - C qiymati. Bu qiymat bizga kub tenglamamizning uchta ildizini olish imkonini beradi. Odatdagidek, 1 va 0 qiymatlarini formulaga qo'shib hal qiling.

  • Ushbu misolda biz C qiymatini olamiz:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Qadam 6. O'zgaruvchingiz bilan tenglamaning uchta ildizini hisoblang

  Sizning kubik tenglamangizning ildizi (javobi) formula bo'yicha aniqlanadi (b + u C + (p0/u C)) / 3 a, bu erda u = (-1 + (-3))/2 va n 1, 2 yoki 3 ga teng. Ularni hal qilish uchun o'z qiymatlaringizni formulaga ulang-siz bajarishingiz kerak bo'lgan juda ko'p hisoblar bo'lishi mumkin., lekin siz uchta kubik tenglamaga javob olishingiz kerak!

  • Bu misolda, biz n, 1, 2 va 3 ga teng bo'lgan javoblarni tekshirish orqali hal qilishimiz mumkin. Bu hisobdan olingan javob kubik tenglamamizga mumkin bo'lgan javobdir - biz kubik tenglamaga qo'shilgan har qanday qiymat. bir xil natija, 0 bilan to'g'ri javob. Misol uchun, agar biz hisob -kitob tajribalarimizdan birida 1 ga teng javob olsak, x tenglamasiga 1 qiymatini qo'shamiz. ³ - 3 x ² + 3 x - 1 yakuniy natijani 0 ga teng qilib beradi. Shunday qilib

    1 -qadam. kubik tenglamamizga javoblardan biridir.