Har bir funktsiya ikkita o'zgaruvchiga ega, ya'ni mustaqil va qaram o'zgaruvchi. To'g'ridan -to'g'ri qaram o'zgaruvchining qiymati mustaqil o'zgaruvchiga "bog'liq". Masalan, y = f (x) = 2 x + y funktsiyasida x - mustaqil o'zgaruvchi va y - qaram o'zgaruvchi (boshqacha aytganda, y - x funktsiyasidir). Ma'lum bo'lgan x o'zgaruvchining haqiqiy qiymatlari "kelib chiqish joylari" deb nomlanadi. Ma'lum bo'lgan y o'zgaruvchining haqiqiy qiymatlari "natijalar diapazoni" deb nomlanadi.
Qadam
3dan 1 qism: Funktsiya domenini topish
Qadam 1. Qaysi turdagi funktsiyani bajarishni hal qiling
Funktsiya sohasi x qiymatlari (gorizontal o'qi) bo'lib, u to'g'ri y qiymatlarini qaytaradi. Funktsiya tenglamasi kvadrat, kasr yoki ildiz bo'lishi mumkin. Funktsiya maydonini hisoblash uchun, birinchi navbatda, tenglamadagi o'zgaruvchilarni tekshirish kerak.
- Kvadratik funktsiya bolta shakliga ega2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Kasrli funktsiyalarga misollar: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), va boshqalar.
- Ildizlari bo'lgan funktsiyalarga quyidagilar kiradi: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x va boshqalar.
Qadam 2. Tegishli belgi bilan domenni yozing
Funktsiya maydonini yozish kvadrat qavs [,] hamda qavs (,) dan foydalanishni o'z ichiga oladi. Agar raqam domenga tegishli bo'lsa, kvadrat qavs [,] dan foydalaning va agar domen raqamni o'z ichiga olmasa, qavs (,) dan foydalaning. U harfi masofadan ajratilishi mumkin bo'lgan domen qismlarini bog'laydigan birlashmani bildiradi.
- Masalan, [-2, 10) U (10, 2] domeni -2 va 2 ni o'z ichiga oladi, lekin 10 sonini o'z ichiga olmaydi.
- Agar siz cheksizlik belgisini ishlatayotgan bo'lsangiz, har doim qavs () dan foydalaning.
3 -qadam. Kvadrat tenglama grafigini chizing
Kvadrat tenglamalar yuqoriga yoki pastga ochiladigan parabolik grafik hosil qiladi. Parabola x o'qida abadiy davom etishini hisobga olsak, kvadratik tenglamalarning ko'pchiligi haqiqiy sonlardir. Boshqacha qilib aytganda, kvadratik tenglama domenni berib, sonlar qatoridagi barcha x-qiymatlarni o'z ichiga oladi R (barcha haqiqiy raqamlar uchun belgi).
- Funktsiyani hal qilish uchun har qanday x-qiymatini tanlang va uni funktsiyaga kiriting. X-qiymati bo'lgan funktsiyani echish y-qiymatini qaytaradi. X va y qiymatlari funksiya grafigining (x, y) koordinatalari.
- Ushbu koordinatalarni grafikaga joylashtiring va jarayonni boshqa x-qiymati bilan takrorlang.
- Ushbu modeldagi ba'zi qiymatlarni chizish sizga kvadrat funktsiyasining shakli haqida umumiy ma'lumot beradi.
4 -qadam. Agar funktsiya tenglamasi kasr bo'lsa, maxrajni nolga tenglashtiring
Kasrlar bilan ishlaganda hech qachon nolga bo'linmaydi. Maxrajni nolga tenglashtirib va x qiymatini topib, siz funktsiyadan olinadigan qiymatlarni hisoblashingiz mumkin.
- Masalan: f (x) = funksiyaning maydonini aniqlang (x+1)/(x - 1).
- Funktsiyaning maxraji (x - 1).
- Maxrajni nolga teng qilib, x: x - 1 = 0, x = 1 qiymatini hisoblang.
- Domenni yozing: Funktsiya domeni 1 ni o'z ichiga olmaydi, lekin 1dan tashqari barcha haqiqiy sonlarni o'z ichiga oladi; shuning uchun domen (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) ni 1 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plami sifatida o'qish mumkin, cheksizlik belgisi barcha haqiqiy sonlarni ifodalaydi. Bunday holda, domenga 1 dan katta va 1dan kichik bo'lgan barcha haqiqiy sonlar kiritiladi.
5 -qadam. Agar tenglama ildiz funktsiyasi bo'lsa, ildiz o'zgaruvchilarini noldan katta yoki teng qiling
Salbiy sonning kvadrat ildizidan foydalana olmaysiz; shuning uchun manfiy songa olib keladigan har qanday x-qiymat funktsiya domenidan olib tashlanishi kerak.
- Masalan: f (x) = (x + 3) funksiyaning maydonini toping.
- Ildizdagi o'zgaruvchilar (x + 3).
- Qiymatni noldan kattaroq yoki teng qiling: (x + 3) 0.
- X: x -3 qiymatini hisoblang. X: x -3 uchun hal qiling.
- Funktsiya maydoniga -3 dan katta yoki teng bo'lgan barcha haqiqiy sonlar kiradi; shuning uchun domen [-3,).
3dan 2 qism: Kvadrat tenglamaning diapazonini topish
Qadam 1. Kvadrat funktsiyaga ega ekanligingizga ishonch hosil qiling
Kvadrat funktsiya ax boltiga ega2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Kvadrat funktsiya grafigi parabola bo'lib, yuqoriga yoki pastga ochiladi. Ishlayotgan funktsiyangiz turiga qarab funktsiya diapazonini hisoblashning turli usullari mavjud.
Boshqa funktsiyalar diapazonini aniqlashning eng oson yo'li, masalan, ildiz funktsiyasi yoki kasr funktsiyasi, grafik kalkulyator yordamida funktsiyani grafik qilish
2-qadam. Funksiya tepasining x-qiymatini toping
Kvadratik funktsiyaning tepasi parabolaning tepasidir. Esingizda bo'lsin, kvadratik funktsiyaning shakli bolta2 + bx + c. X koordinatasini topish uchun x = -b/2a tenglamadan foydalaning. Tenglama nol qiyalik/qiyalikli tenglamani ifodalovchi asosiy kvadratik funktsiyaning hosilasidir (grafik tepasida, funktsiyaning gradyenti nolga teng).
- Masalan, 3x oralig'ini toping2 + 6x -2.
- Tepalikning x koordinatasini hisoblang: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
3-qadam. Funktsiya tepasining y-qiymatini hisoblang
Tepalikning mos keladigan y-qiymatini hisoblash uchun x koordinatasini funktsiyaga ulang. Bu y qiymati funksiya diapazonining chegarasini bildiradi.
- Y koordinatasini hisoblang: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Bu funksiyaning tepasi (-1, -5).
Qadam 4. Parabolaning yo'nalishini kamida bitta x-qiymatini ulab aniqlang
Boshqa har qanday x-qiymatini tanlang va mos keladigan y-qiymatini hisoblash uchun uni funktsiyaga ulang. Agar y-qiymati tepadan yuqori bo'lsa, parabola +toda davom etadi. Agar y qiymati tepalikdan pastda bo'lsa, parabola -∞gacha davom etadi.
- X -qiymati -2 dan foydalaning: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Bu hisoblash (-2, -2) koordinatalarini qaytaradi.
- Bu koordinatalar sizga parabolaning (-1, -5) tepa ustida davom etishini ko'rsatadi; shuning uchun diapazon -5 dan yuqori bo'lgan barcha y qiymatlarini o'z ichiga oladi.
- Bu funksiyaning diapazoni [-5,).
5 -qadam. To'g'ri belgi bilan diapazonni yozing
Domenlar singari, diapazonlar ham xuddi shu belgi bilan yozilgan. Agar raqam diapazonda bo'lsa, kvadrat qavs [,] dan foydalaning va agar oraliqda raqam bo'lmasa, qavs (,) dan foydalaning. U harfi masofa bilan ajratilishi mumkin bo'lgan qismlarni bog'laydigan birlashmani bildiradi.
- Masalan, [-2, 10) U (10, 2] diapazoni -2 va 2 ni o'z ichiga oladi, lekin 10 sonini o'z ichiga olmaydi.
- Agar siz cheksizlik belgisini ishlatsangiz, har doim qavsdan foydalaning.
3dan 3 qism: Funktsiya grafigidan diapazonni topish
Qadam 1. Funktsiyani chizish
Ko'pincha, funktsiya diapazonini aniqlashning eng oson usuli - bu grafik. Ko'p ildiz funktsiyalarining diapazoni bor (-∞, 0] yoki [0, +∞), chunki gorizontal parabolaning (yonbosh parabola) tepasi gorizontal x o'qida joylashgan. Bu holda, agar parabola ochilsa, funktsiyaga barcha ijobiy y-qiymatlari yoki agar parabola pastga ochilsa, barcha salbiy y-qiymatlari kiradi. Kasrli funktsiyalarda funktsiya diapazonini belgilaydigan asimptotalar bo'ladi (chiziqlar hech qachon to'g'ri chiziq / egri chiziq bilan kesilmaydi, lekin cheksizlikka yaqinlashadi).
- Ba'zi ildiz funktsiyalari x o'qi ustida yoki pastda boshlanadi. Bunday holda, diapazon ildiz funktsiyasi boshlanadigan raqam bilan belgilanadi. Agar parabola y = -4 dan boshlanib, yuqoriga ko'tarilsa, diapazon [-4, +∞).
- Funktsiyani chizishning eng oson usuli - bu grafik dastur yoki grafik kalkulyatoridan foydalanish.
- Agar sizda grafika kalkulyatori bo'lmasa, siz x-qiymatini funktsiyaga ulab va tegishli y-qiymatini olish orqali grafikning qo'pol chizmasini chizishingiz mumkin. Grafika qanday ko'rinishini bilish uchun ushbu koordinatalarni grafikka joylashtiring.
2 -qadam. Funksiyaning minimal qiymatini toping
Funktsiyani chizganingizdan so'ng, siz grafikning eng past nuqtasini aniq ko'rishingiz kerak. Agar aniq minimal qiymat bo'lmasa, bilingki, ba'zi funktsiyalar -∞ (cheksizlik) da davom etadi.
Fraktsiya funktsiyasi asimptotlardan tashqari barcha nuqtalarni o'z ichiga oladi. Funktsiya (-∞, 6) U (6,) kabi diapazonga ega
Qadam 3. Funktsiyaning maksimal qiymatini aniqlang
Shunga qaramay, grafikni chizgandan so'ng, siz funktsiyaning maksimal nuqtasini aniqlay olishingiz kerak. Ba'zi funktsiyalar +at da davom etadi va shuning uchun minimal qiymatga ega bo'lmaydi.
4 -qadam. To'g'ri belgi bilan diapazonni yozing
Domenlar singari, diapazonlar ham xuddi shu belgi bilan yozilgan. Agar raqam diapazonda bo'lsa, kvadrat qavs [,] dan foydalaning va agar oraliqda raqam bo'lmasa, qavs (,) dan foydalaning. U harfi masofa bilan ajratilishi mumkin bo'lgan qismlarni bog'laydigan birlashmani bildiradi.
- Masalan, [-2, 10) U (10, 2] diapazoni -2 va 2 ni o'z ichiga oladi, lekin 10 sonini o'z ichiga olmaydi.
- Agar siz cheksizlik belgisini ishlatsangiz, har doim qavsdan foydalaning.
