Trinomialni aniqlashning 3 usuli

2024 Muallif: Jason Gerald | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-15 08:26

Trinomial - bu uchta atamadan iborat algebraik ifoda. Katta ehtimol bilan, siz kvadrat trinomialni, bolta shaklida yozilgan trinomialni qanday ajratishni o'rganishni boshlaysiz.² + bx + c. O'rganish uchun bir nechta fokuslar mavjud, ularni har xil kvadrat uchburchaklar uchun ishlatish mumkin, lekin siz ularni amaliyotda yaxshiroq va tezroq ishlata olasiz. Yuqori tartibli polinomlar, x kabi atamalar bilan³ yoki x⁴, har doim ham bir xil echilishi mumkin emas, lekin siz uni boshqa kvadratik formulalar kabi echilishi mumkin bo'lgan masalaga aylantirish uchun ko'pincha oddiy faktoring yoki almashtirishdan foydalanishingiz mumkin.

Qadam

3 -usul 1: Faktoring x² + bx + c

Qadam 1. PLDT ko'paytirishni o'rganing

Siz (x+2) (x+4) kabi ifodalarni ko'paytirish uchun PLDT yoki "Birinchidan, tashqarida, ichida, oxirgi" ni ko'paytirishni o'rgangan bo'lishingiz mumkin. Amal qilishdan oldin, bu ko'paytirish qanday ishlashini bilish foydalidir:

• Qabilalarni ko'paytiring Birinchisi: (x+2)(x+4) = x² + _

• Qabilalarni ko'paytiring Tashqarida: (x+2) (x+

  4 -qadam.) = x²+ 4x + _

• Qabilalarni ko'paytiring Yilda: (x+

  2 -qadam.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Qabilalarni ko'paytiring Final: (x+

  2 -qadam.) (x

  4 -qadam.) = x²+4x+2x

  8 -qadam.

• Soddalashtiring: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

2 -qadam. Faktoringni tushunish

PLDT usuli yordamida ikkita binomialni ko'paytirganda, siz x x shaklida trinomial (uchta atamali ifoda) olasiz.²+ b x+ c, bu erda a, b va c oddiy sonlar. Agar siz bir xil shaklga ega bo'lgan tenglamadan boshlasangiz, uni yana ikkita binomga aylantirishingiz mumkin.

• Agar tenglamalar shu tartibda yozilmagan bo'lsa, tenglamalarni shunday tartibda joylashtiringki, ular shunday tartibga ega bo'lsin. Masalan, qayta yozish 3x - 10 + x² Bo'ladi x² + 3x - 10.
• Chunki eng yuqori quvvat 2 (x², bu turdagi ifoda kvadratik deyiladi.

Qadam 3. PLDT ko'paytirish shaklida javob uchun bo'sh joy qoldiring

Hozircha faqat yozing (_ _)(_ _) javobni qayerga yozasiz. Biz uni ishlayotganda to'ldiramiz

Bo'sh atamalar orasiga + yoki - yozmang, chunki biz hali to'g'ri belgini bilmaymiz

Qadam 4. Birinchi so'zlarni to'ldiring

Oddiy muammolar uchun sizning trinomiyalingizning birinchi atamasi faqat x², Birinchi pozitsiyadagi shartlar har doim bo'ladi x va x. Bular x atamasining omillari² chunki x marta x = x².

• Bizning misolimiz x² + 3x - 10, x bilan boshlanadi², shuning uchun biz yozishimiz mumkin:
• (x _) (x _)
• Biz keyingi bo'limda 6x kabi atamalardan boshlanadigan trinomiallarni o'z ichiga olgan yanada murakkab muammolarni hal qilamiz² yoki -x². Ayni paytda, bu namunali savollarga amal qiling.

Qadam 5. Oxirgi atamalarni taxmin qilish uchun faktoringdan foydalaning

Agar siz orqaga qaytsangiz va PLDT ni ko'paytirish bo'yicha qadamlarni o'qib chiqsangiz, oxirgi sonlarni ko'paytirish polinomdagi oxirgi sonni (x bo'lmagan terminlar) hosil qilishini ko'rasiz. Shunday qilib, biz ikkita sonni topishimiz kerak, ular ko'paytirilganda oxirgi davr hosil bo'ladi.

• Bizning misolimizda x² + 3x - 10, oxirgi davr -10.
• -10 ning qanday omillari bor? Qaysi raqam -10 ga ko'paytiriladi?
• Bir nechta imkoniyatlar mavjud: -1 marta 10, 1 marta -10, -2 marta 5 yoki 2 marta -5. Bu juftlarni eslab qolish uchun biror joyga yozing.
• Hozircha javobimizni o'zgartirmang. Bizning javobimiz hali ham shunday bo'lishi kerak: (x _) (x _).

6 -qadam Tashqi va ichki mahsulotga mos keladigan imkoniyatlarni sinab ko'ring

Biz oxirgi shartlarni bir nechta imkoniyatlarga qisqartirdik. Sinov tizimidan foydalanib, har qanday imkoniyatni sinab ko'ring, tashqi va ichki atamalarni ko'paytiring va mahsulotni bizning trinomial bilan taqqoslang. Masalan:

• Bizning asl muammomizda "x" atamasi 3x edi, shuning uchun bizning test natijalarimiz bu atamaga mos kelishi kerak.
• Testlar -1 va 10: (x -1) (x+10). Tashqarida + Ichida = 10x - x = 9x. Noto'g'ri.
• Testlar 1 va -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Bu noto'g'ri. Aslida, agar siz -1 va 10 ni sinab ko'rsangiz, 1 va -10 yuqoridagi javobga qarama -qarshi ekanligini topasiz: 9x o'rniga -9x.
• Testlar -2 va 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Natija boshlang'ich polinomga to'g'ri keladi, shuning uchun to'g'ri javob: (x-2) (x+5).
• Bunday oddiy holatlarda, agar sizda x atamasi oldida doimiy bo'lmasa², siz tezkor usuldan foydalanishingiz mumkin: ikkita omilni qo'shib, orqasiga "x" qo'ying (-2+5 → 3x). Biroq, bu usul murakkabroq muammolar uchun ishlamaydi, shuning uchun yuqorida tasvirlangan "uzoq yo'l" ni eslash yaxshiroqdir.

3 -ning 2 -usuli: Ko'proq murakkab trinomiyalarni faktoring qilish

Qadam 1. Murakkab muammolarni soddalashtirish uchun oddiy faktoringdan foydalaning

Masalan, siz omillarni hisobga olishingiz kerak 3x² + 9x30. Barcha uchta atamani ("eng katta umumiy omil" yoki GCF) ta'sir qiladigan raqamni toping. Bunday holda, GCF 3 ga teng:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Shunday qilib, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Biz yangi trinomialni yuqoridagi bo'limda ko'rsatilgan qadamlardan foydalanib ajratishimiz mumkin. Bizning oxirgi javobimiz shunday bo'ladi (3) (x-2) (x+5).

2 -qadam. Murakkablashtiruvchi omillarni qidiring

Ba'zida faktoring o'zgaruvchini o'z ichiga olishi mumkin yoki mumkin bo'lgan eng sodda ifodani topish uchun bir necha marta omillarni kiritish kerak bo'ladi. Bu erda ba'zi misollar:

• 2x²y + 14ksi + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Yangi trinomialni 1 -usuldagi qadamlardan foydalanib qayta tuzishni unutmang. Ishingizni tekshiring va shu sahifaning pastki qismidagi savollarga o'xshash muammolarning misollarini qidiring.

3 -qadam. X oldidagi raqam bilan masalalar yechish².

Ba'zi kvadratik uchburchaklar muammoning eng oson turiga kamaytirilishi mumkin emas. 3x kabi muammolarni qanday hal qilishni bilib oling² + 10x + 8, keyin bu sahifaning pastki qismidagi savollar bilan mustaqil mashq qiling:

• Javobimizni quyidagicha belgilang: (_ _)(_ _)
• Bizning "Birinchi" atamalarimizda har biri bitta x bo'ladi va ularni ko'paytirish 3xni beradi². Faqat bitta imkoniyat bor: (3x _) (x _).
• 8 omillarini sanab bering. Imkoniyatlar 1 marta 8 yoki 2 marta 4.
• Tashqi va ichki atamalar yordamida bu imkoniyatni sinab ko'ring. E'tibor bering, omillar tartibi juda muhim, chunki Tashqi atama x o'rniga 3x ga ko'paytiriladi. Chiqish+In = 10x (asl muammodan) chiqmaguningizcha har bir imkoniyatni sinab ko'ring:
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x yo'q
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x yo'q
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x yo'q
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ha. Bu to'g'ri omil.

Qadam 4. Yuqori darajali trinomiallarni almashtirishdan foydalaning

Sizning matematik kitobingiz sizni x kabi yuqori kuchga ega tenglamalar bilan ajablantirishi mumkin⁴, muammoni osonlashtirish uchun oddiy faktoringdan foydalansangiz ham. Siz uni qanday hal qilishni biladigan muammoga aylantiradigan yangi o'zgaruvchini almashtirishga harakat qiling. Masalan:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Keling, yangi o'zgaruvchini yarataylik. Y = x deylik² va uni qo'ying:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Endi uni dastlabki o'zgaruvchiga aylantiring:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

3 -ning 3 -usuli: Maxsus holatlarni faktoring qilish

1 -qadam. Bosh sonlarni toping

Trinomialning birinchi yoki uchinchi davridagi doimiylik oddiy sonmi yoki yo'qligini bilib oling. Bosh son faqat o'z -o'zidan bo'linadi va 1, shuning uchun binomiy omillarning faqat bitta jufti bo'lishi mumkin.

• Masalan, x da² + 6x + 5, 5 - bu oddiy raqam, shuning uchun binomial (_ 5) (_ 1) shakli bo'lishi kerak.
• 3x masalasida²+10x+8, 3 - bu oddiy son, shuning uchun binomial (3x _) (x _) formada bo'lishi kerak.
• Savollar uchun 3x²+4x+1, 3 va 1 ham oddiy sonlar, shuning uchun yagona echim (3x+1) (x+1). (Javobni tekshirish uchun siz hali ham bu raqamni ko'paytirishingiz kerak, chunki ba'zi ifodalarni faktorlashtirish mumkin emas - masalan, 3x²+100x+1 faktori yo'q.)

Qadam 2. Trinomial mukammal kvadrat ekanligini aniqlang

To'liq kvadrat uchburchakni ikkita bir xil binomga bo'lish mumkin va bu omil odatda (x+1) deb yoziladi.² va (x+1) (x+1) emas. Mana, savollarda paydo bo'ladigan ba'zi misollar:

• x²+2x+1 = (x+1)²va x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)²va x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)²va x²-6x+9 = (x-3)²
• A x shaklidagi mukammal kvadrat trinomial² + bx + c har doim a va c shartlarga ega, ular musbat mukammal kvadratchalar (masalan, 1, 4, 9, 16 yoki 25) va bitta b (musbat yoki manfiy) 2 ga teng (√a * √c).

Qadam 3. Muammoning echimi yo'qligini bilib oling

Hamma trinomiallarni faktorlashtirish mumkin emas. Agar siz kvadrat trinomialni (ax²+bx+c), javobni topish uchun kvadratik formuladan foydalaning. Agar bitta javob manfiy sonning kvadrat ildizi bo'lsa, haqiqiy sonning echimi yo'q, demak, muammoning omillari yo'q.

Kvadrat bo'lmagan uchburchaklar uchun Maslahatlar bo'limida tasvirlangan Eyzenshteyn kriteriyasidan foydalaning

Javoblar va namunali savollar

1. "Murakkab faktoring" savollariga javoblar.

   Bu "murakkab omillar" bosqichidagi savollar. Biz muammolarni soddalashtirdik, shuning uchun ularni 1 -usuldagi qadamlardan foydalanib hal qilishga harakat qiling, so'ng o'z ishingizni bu erda tekshiring:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Faktoring masalalarini murakkabroq qilib ko'ring.

   Bu muammolar har bir davrda bir xil omilga ega bo'lib, ularni birinchi navbatda hisobga olish kerak. O'zingizning ishingizni tekshirish uchun javoblarni ko'rish uchun tenglik belgisidan keyin bo'sh joylarni bloklang:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) javobni ko'rish uchun bo'sh joyni to'sib qo'ying
   • -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Savollardan foydalanib mashq qiling. Bu muammolarni osonroq tenglamalarga kiritish mumkin emas, shuning uchun siz sinov va xato yordamida javobni (_x + _) (_ x + _) shaklida topishingiz kerak bo'ladi:

   • 2x²Javobni ko'rish uchun+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Maslahat: Siz 9x uchun bir nechta faktorli juftlikni sinab ko'rishingiz mumkin.)

   Maslahatlar

   • Agar siz kvadrat trinomialni (ax²+bx+c), x ni topish uchun kvadratik formuladan foydalanishingiz mumkin.

   • Buni qanday qilishni bilishingiz shart bo'lmasa -da, siz polinomni soddalashtirish va faktorlashtirish mumkin emasligini tezda aniqlash uchun Eyzenshteyn mezonidan foydalanishingiz mumkin. Bu mezon har qanday polinomga taalluqlidir, lekin trinomiallar uchun eng yaxshisidir. Agar oxirgi ikkita shartni teng taqsimlaydigan va quyidagi shartlarni bajaradigan bosh son p bo'lsa, polinomni soddalashtirib bo'lmaydi:

     • Doimiy atamalar (o'zgarmaydiganlar) - bu p -ning ko'pligi, lekin p -ning ko'pligi emas².
     • Prefiks (masalan, bolta²+bx+c) p ning ko'paytmasi emas.
     • Masalan, 14x² +45x +51 ni soddalashtirish mumkin emas, chunki 45 va 51 ga bo'linadigan, lekin 14 ga bo'linmaydigan va 51 ga 3 ga bo'linmaydigan oddiy son (3) mavjud.².

   Ogohlantirish

   Bu to'rtburchaklar uchburchaklar uchun to'g'ri bo'lsa -da, faktorlarga bo'linadigan trinomiallar, albatta, ikkita binomiallarning mahsuloti emas. Masalan, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).