Agar ikkita kasr bir xil qiymatga ega bo'lsa, ular tengdir. Kasrlarni ekvivalent shakllarga aylantirishni bilish matematikaning asosiy algebradan tortib to ilg'or hisoblargacha bo'lgan barcha shakllari uchun zarur bo'lgan juda muhim matematik mahoratdir. Ushbu maqola ekvivalent kasrlarni asosiy ko'paytirish va bo'linishdan ekvivalent kasrli tenglamalarni hal qilishning murakkab usullariga qadar hisoblashning bir necha usullarini taqdim etadi.
Qadam
5 -usul 1: Ekvivalent kasrlarni tartibga solish
Qadam 1. Hisoblagich va maxrajni bir xil songa ko'paytiring
Ikki xil, lekin ekvivalent kasrlar, ta'rifiga ko'ra, bir -biriga ko'paytiruvchi bo'luvchi va maxrajga ega. Boshqacha qilib aytganda, kasrning hisoblagichi va maxrajini bir xil songa ko'paytirish ekvivalent kasrlarni hosil qiladi. Yangi kasrdagi sonlar boshqacha bo'lishiga qaramay, kasrlar bir xil qiymatga ega bo'ladi.
- Masalan, agar biz 4/8 kasrni olsak va hisoblagich va maxrajni 2 ga ko'paytirsak, (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 ni olamiz. Bu ikkita fraktsiya tengdir.
- (4 × 2)/(8 × 2) aslida 4/8 × 2/2 bilan bir xil. Shuni esda tutingki, ikkita kasrni ko'paytirganda, biz to'g'ri ko'paytiramiz, ya'ni hisoblagichni hisoblagich va maxrajni ajratuvchi.
- E'tibor bering, agar siz bo'linishni qilsangiz, 2/2 1 ga teng. Shunday qilib, nima uchun 4/8 va 8/16 ekvivalent ekanligini tushunish osonroq, chunki 4/8 × (2/2) = ko'payishi 4/8 bo'lib qoladi. Xuddi shu tarzda, bu 4/8 = 8/16 deyish bilan bir xil.
- Berilgan har qanday kasrda cheksiz miqdordagi ekvivalent kasrlar mavjud. Ekvivalent kasrni olish uchun siz ham sonni, ham maxrajni kattaligidan yoki kichikligidan qat'i nazar, har qanday butun songa ko'paytirishingiz mumkin.
2 -qadam. Hisoblagich va maxrajni bir xil songa bo'ling
Ko'paytirish singari, bo'linish ham sizning asl kasringizga teng bo'lgan yangi kasrni topish uchun ishlatilishi mumkin. Ekvivalent kasrni olish uchun faqat kasrning hisoblagichi va maxrajini bir xil songa bo'ling. Bu jarayonning bitta kamchiliklari bor - yakuniy fraktsiya to'g'ri bo'lishi uchun ham hisoblagichda, ham maxrajda tamsayılar bo'lishi kerak.
Masalan, 4/8 ga qaraylik. Agar biz ko'paytirishning o'rniga, ikkalasini ham ikkiga bo'lsak, (4 2)/(8 2) = 2/4 ni olamiz. 2 va 4 - butun sonlar, shuning uchun bu ekvivalent kasrlar to'g'ri
5 -usul 2: Tenglikni aniqlash uchun asosiy ko'paytirishdan foydalanish
Qadam 1. Kattaroq maxrajni olish uchun kichik qismga ko'paytirilishi kerak bo'lgan sonni toping
Fraktsiyalar bilan bog'liq ko'plab muammolar ikkita kasrning ekvivalentligini aniqlashni o'z ichiga oladi. Bu sonni hisoblab, tenglikni aniqlash uchun kasrli shartlarni tenglashtirishni boshlashingiz mumkin.
- Masalan, 4/8 va 8/16 kasrlarni qayta ishlating. Kichik maxraj 8 ga teng va biz katta sonni olish uchun sonni 2 ga ko'paytirishimiz kerak, ya'ni 16. Demak, bu holda bu raqam 2 ga teng.
- Qiyinroq raqamlar uchun siz katta maxrajni kichik qismga bo'lishingiz mumkin. Bunday holda, 16 8 ga bo'linadi, bu hali ham 2 ni beradi.
- Bu raqam har doim ham butun son emas. Masalan, agar maxrajlar 2 va 7 bo'lsa, bu raqam 3, 5 ga teng.
2 -qadam. Kichik atamaga ega bo'lgan kasrning hisoblagichi va maxrajini birinchi qadamdan boshlab songa ko'paytiring
Ikki xil, lekin ekvivalent kasrlar ta'rifiga ko'ra bir -biriga ko'paytiruvchi hisoblagich va maxraj. Boshqacha qilib aytganda, kasrning hisoblagichi va maxrajini bir xil songa ko'paytirish ekvivalent kasr hosil qiladi. Garchi bu yangi kasrdagi raqamlar boshqacha bo'lsa -da, bu kasrlar bir xil qiymatga ega bo'ladi.
Masalan, agar biz birinchi bosqichdan 4/8 kasrni ishlatsak va hisoblagich va maxrajni biz ilgari aniqlagan songa ko'paytirsak, bu 2 ga teng bo'ladi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Bu natija bu ikki kasrning ekvivalent ekanligini isbotlaydi.
5 -ning 3 -usuli: Tenglikni aniqlash uchun asosiy bo'limdan foydalanish
Qadam 1. Har bir kasrni o'nlik raqam sifatida sanab bering
O'zgaruvchisiz oddiy kasrlar uchun siz tenglikni aniqlash uchun har bir kasrni o'nlik raqam sifatida ko'rsatishingiz mumkin. Har bir kasr aslida bo'linish muammosi bo'lgani uchun, bu tenglikni aniqlashning eng oddiy usuli.
- Masalan, biz ilgari ishlatgan kasrdan foydalaning, 4/8. 4/8 kasr 4 ni 8 ga bo'linib aytishga teng, bu 4/8 = 0,5. Siz boshqa misolni ham hal qilishingiz mumkin, bu 8/16 = 0,5. Kasrdagi atamalardan qat'i nazar, kasr ekvivalentdir agar o'nlik kasrda ko'rsatilganida ikkala raqam ham bir xil bo'lsa.
- Shuni yodda tutingki, o'nlik ifodalar tenglik aniq bo'lmasdan oldin bir nechta raqamlarga ega bo'lishi mumkin. Asosiy misol sifatida 1/3 = 0.333 takrorlanadi, 3/10 = 0.3. Bir nechta raqamlardan foydalanib, biz bu ikki kasrning ekvivalent emasligini ko'ramiz.
2 -qadam. Kasrning hisoblagichi va maxrajini bir xil songa bo'linib, ekvivalent kasr olinadi
Keyinchalik murakkab kasrlar uchun bo'linish usuli qo'shimcha bosqichlarni talab qiladi. Holbuki, ko'paytirishda siz kasrning hisoblagichi va maxrajini bir xil songa bo'linib, ekvivalent kasrni olasiz. Bu jarayonda bitta kamchilik bor. Haqiqat bo'lishi uchun yakuniy fraktsiyada ham son, ham maxrajda tamsayılar bo'lishi kerak.
Masalan, 4/8 ga qaraylik. Agar biz ko'paytirish o'rniga, hisoblagich va maxrajni 2 ga bo'lsak, (4 2)/(8 2) = ni olamiz. 2/4. 2 va 4 - butun sonlar, shuning uchun bu ekvivalent kasrlar to'g'ri.
3 -qadam. Kasrlarni soddalashtiring
Ko'pgina kasrlar odatda oddiy so'zlar bilan yoziladi va siz kasrlarni eng oddiy umumiy omilga (GCF) bo'lish orqali oddiy shaklga o'tkazishingiz mumkin. Bu qadam ekvivalent kasrlarni yozish, ularni bir xil denominatorga aylantirish bilan bir xil mantiqda amalga oshiriladi, lekin bu usul har bir kasrni eng kichik shartlariga soddalashtirishga harakat qiladi.
- Agar kasr eng oddiy shaklda bo'lsa, hisoblagich va maxraj eng kichik qiymatlarga ega bo'ladi. Kichikroq qiymatni olish uchun ikkalasini ham butun songa bo'lish mumkin emas. Oddiy bo'lmagan kasrni eng oddiy ekvivalent shakliga aylantirish uchun biz hisoblagich va maxrajni eng katta umumiy omiliga ajratamiz.
-
Hisoblagich va denominatorning eng katta umumiy omili (GCF) ularni butun sonli natija berish uchun ajratadigan eng katta raqamdir. Shunday qilib, bizning 4/8 misolimizda, chunki
4 -qadam. 4 va 8 ga bo'linadigan eng katta son, biz oddiy sonlarni olish uchun kasrimizning hisoblagichi va maxrajini 4 ga ajratamiz. (4 4)/(8 4) = 1/2. Bizning boshqa misolimiz uchun, 8/16, GCF - 8, u ham kasrning eng oddiy ifodasi sifatida 1/2 qiymatini qaytaradi.
5 -ning 4 -usuli: O'zgaruvchilarni topish uchun o'zaro faoliyat mahsulotlardan foydalanish
Qadam 1. Ikki kasrni bir -biriga teng qilib joylashtiring
Biz kasrlarni ekvivalent ekanligini biladigan matematik masalalar uchun o'zaro ko'paytirishni qo'llaymiz, lekin sonlardan biri biz hal qilishimiz kerak bo'lgan o'zgaruvchiga almashtiriladi (odatda x). Bunday holatlarda biz bilamizki, bu kasrlar tengdir, chunki ular tenglik belgisining boshqa tarafidagi yagona atamalardir, lekin ko'pincha o'zgaruvchini topish usuli aniq emas. Yaxshiyamki, o'zaro ko'payish bilan bunday muammolarni hal qilish oson.
2 -qadam. Ikkita ekvivalent kasrni oling va ularni "X" shakliga ko'paytiring
Boshqacha qilib aytganda, siz bitta kasrning hisoblagichini boshqa kasrning maxrajiga ko'paytirasiz va aksincha, ikkita javobni bir -biriga mos keladigan va hal qiladigan qilib tartibga solasiz.
Bizning ikkita misolni oling, 4/8 va 8/16. O'zgaruvchiga ega emas, lekin biz kontseptsiyani isbotlay olamiz, chunki biz ularning ekvivalent ekanligini bilamiz. Ko'paytirish orqali biz 4/16 = 8 x 8 yoki 64 = 64 ni olamiz, bu to'g'ri. Agar bu ikkita raqam teng bo'lmasa, kasrlar teng emas
3 -qadam. O'zgaruvchilarni qo'shing
O'zgaruvchilarni topishga to'g'ri kelganda, kesishish ekvivalent kasrlarni aniqlashning eng oson usuli bo'lgani uchun, o'zgaruvchilarni qo'shamiz.
-
Masalan, 2/x = 10/13 tenglamasidan foydalanaylik. Ko'paytirish uchun biz 2 ni 13 ga va 10 ni x ga ko'paytiramiz, keyin javoblarimizni bir -biriga tenglashtiramiz:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Bu erdan o'zgarmaydiganga javob topish oddiy algebra masalasidir. x = 26/10 = 2, 6, boshlang'ich ekvivalent kasrni 2/2, 6 = 10/13 qilish.
Qadam 4. Ko'p o'zgaruvchan kasrlar yoki o'zgarmaydigan ifodalar uchun o'zaro ko'paytirishdan foydalaning
Ko'ndalang ko'paytirishning eng yaxshi tomonlaridan biri shundaki, u xuddi shunday ishlaydi, siz ikkita oddiy kasr bilan ishlaysizmi (yuqoridagi kabi) yoki murakkabroq kasrlar. Masalan, agar ikkala kasr ham o'zgaruvchiga ega bo'lsa, siz bu o'zgaruvchilarni echish jarayonida yo'q qilishingiz kerak bo'ladi. Xuddi shunday, agar sizning kasringizning hisoblagichi yoki denominatori o'zgarmaydigan ifodaga ega bo'lsa (x + 1 kabi), uni tarqatish xususiyatidan foydalanib "ko'paytiring" va odatdagidek hal qiling.
-
Masalan, ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) tenglamadan foydalanaylik. Bu holda, yuqorida aytilganidek, biz o'zaro faoliyat mahsulot orqali hal qilamiz:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, keyin har ikki tomondan 2xni olib, kasrni soddalashtirishimiz mumkin
- 2 = 2x + 12, keyin biz har ikki tomondan 12 ni olib, o'zgaruvchini ajratamiz
- -10 = 2x va 2 ga bo'linib, x ni toping
- - 5 = x
5 -usul 5: O'zgaruvchilarni topish uchun kvadratik formulalardan foydalanish
Qadam 1. Ikki kasrni kesib o'ting
Kvadrat formulani talab qiladigan tenglik muammolari uchun biz haligacha o'zaro faoliyat mahsulotni ishlatishdan boshlaymiz. Biroq, o'zgaruvchining shartlarini boshqa o'zgaruvchining shartlariga ko'paytirishni o'z ichiga olgan har qanday o'zaro mahsulot, algebra yordamida osonlikcha hal qilinmaydigan ifodaga olib kelishi mumkin. Bunday holatlarda faktoring va/yoki kvadratik formulalar kabi usullardan foydalanish kerak bo'lishi mumkin.
-
Masalan, ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) tenglamani ko'rib chiqaylik. Birinchidan, ko'paytiramiz:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
2 -qadam. Tenglamani kvadrat tenglama sifatida yozing
Ushbu bo'limda biz bu tenglamani kvadratik shaklda yozmoqchimiz (ax2 + bx + c = 0), biz tenglamani nolga tenglashtiramiz. Bunday holda, biz har ikki tomondan 12 marta olib tashlaymiz va 2xga ega bo'lamiz2 - 14 = 0.
Ba'zi qiymatlar 0 ga teng bo'lishi mumkin. 2x bo'lsa ham2 - 14 = 0 - tenglamamizning eng oddiy shakli, haqiqiy kvadrat tenglama 2x2 + 0x + (-14) = 0. Ba'zi qiymatlar 0 ga teng bo'lsa ham, kvadrat tenglamaning shaklini yozish boshida foydali bo'lishi mumkin.
3 -qadam. Kvadrat tenglamangizdagi sonlarni kvadratik formulaga qo'shib hal qiling
Kvadrat formulalar (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) bu bo'limda x qiymatimizni topishga yordam beradi. Formulaning uzunligidan qo'rqmang. Siz ikkinchi tenglamadagi kvadrat tenglamangizdagi qiymatlarni olasiz va ularni hal qilishdan oldin ularni kerakli joylarga qo'yasiz.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Bizning tenglamada, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 va c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
4-qadam. Kvadrat tenglamangizga x qiymatini qayta kiritish orqali javobingizni tekshiring
Hisoblangan x qiymatini ikkinchi tenglamadan kvadrat tenglamangizga qaytarib, siz to'g'ri javob topganingizni osongina aniqlashingiz mumkin. Ushbu misolda siz 2, 64 va -2, 64 ni asl kvadratik tenglamaga qo'shasiz.
Maslahatlar
- Kasrni ekvivalentiga aylantirish, aslida kasrni 1 ga ko'paytirishning bir shakli. 1/2 ni 2/4 ga aylantirishda, ayiruvchi va maxrajni 2 ga ko'paytirish, 1/2 ni 2/2 ga ko'paytirish bilan bir xil bo'ladi, bu 1 ga teng..
-
Agar xohlasangiz, konvertatsiyani osonlashtirish uchun aralash sonni oddiy kasrga aylantiring. Albatta, siz duch kelgan barcha kasrlar yuqoridagi 4/8 misolimizni o'zgartirgandek oson bo'lmaydi. Masalan, aralash raqamlar (masalan, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 va boshqalar) konvertatsiya jarayonini biroz murakkablashtirishi mumkin. Agar siz aralash sonni oddiy kasrga aylantirishingiz kerak bo'lsa, buni ikki usulda qilishingiz mumkin: aralash sonni oddiy kasrga aylantirish, keyin uni odatdagidek aylantirish, yoki aralash raqamlar shaklini saqlab qolish va aralash sonlar ko'rinishida javob olish orqali.
- Umumiy kasrga aylantirish uchun aralash sonning butun sonli qismini kasr qismining maxrajiga ko'paytiring va keyin hisoblagichga qo'shing. Masalan, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Keyin, agar xohlasangiz, kerak bo'lganda o'zgartirishingiz mumkin. Masalan, 5/3 × 2/2 = 10/6, bu 1 2/3 ga teng bo'lib qoladi.
- Biroq, biz uni yuqoridagi kabi oddiy kasrga aylantirishimiz shart emas. Aks holda, biz butun sonli komponentni yolg'iz qoldiramiz, faqat kasrli komponentni o'zgartiramiz va butun sonli komponentni o'zgarishsiz qo'shamiz. Masalan, 3 4/16 uchun biz faqat 4/16 ni ko'ramiz. 4/16 4/4 = 1/4. Shunday qilib, butun sonli komponentlarimizni qo'shib, biz yangi aralash raqamni olamiz, 3 1/4.
Ogohlantirish
- Ko'paytirish va bo'linish ekvivalent kasrlarni olish uchun ishlatilishi mumkin, chunki 1 sonining (2/2, 3/3 va hokazo) kasrli shakli bilan ko'paytirish va bo'linish ta'rifi bo'yicha asl kasrga teng bo'lgan javobni beradi. Qo'shish va ayirishni ishlatib bo'lmaydi.
-
Agar siz kasrlarni ko'paytirganda hisoblagichlar va maxrajlarni ko'paytirsangiz ham, siz kasrlarni qo'shganda yoki kamaytirganda maxrajlarni qo'shmaysiz yoki kamaytirmaysiz.
Masalan, yuqorida bilamizki, 4/8 4/4 = 1/2. Agar biz 4/4 ga qo'shsak, biz butunlay boshqacha javob olamiz. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 yoki 3/2, ular 4/8 ga teng emas.
